Question

X^6+x^5+x^4-6x^3+x^2+x+1=0 решите с пояснением

Answer 1

Так как это полином с целыми коэффициентами, то у него есть целый корень.
Находим корень из делителей свободного члена: 1
Таких будет два: -1;1
Проверяем при -1:
1-1+1+6+1-1+1≠0
Значит -1 не является корнем уравнения
Проверяем при 1:
1+1+1-6+1+1+1=0
Значит 1 - корень уравнения
$(x-1)(x^5+2x^4+3x^3-3x^2-2x-1)=0$
$x^5+2x^4+3x^3-3x^2-2x-1=0$
Так как это полином с целыми коэффициентами, то у него есть целый корень.
Находим корень из делителей свободного члена: -1
Таких будет два: -1;1
Проверяем при -1:
-1+2-3-3+2-1≠0
Значит -1 не является корнем уравнения
Проверяем при 1:
1+2+3-3-2-1=0
Значит 1 является корнем уравнения
$(x-1)(x^4+3x^3+6x^2+3x+1)=0$
$x^4+3x^3+6x^2+3x+1=0$
Так как это полином с целыми коэффициентами, то у него есть целый корень.
Находим корень из делителей свободного члена: 1
Таких будет два: -1;1
Проверяем при -1:
1-3+6-3+1≠0
Проверяем при 1:
1+3+6+3+1≠0
Это значит, что больше действительных корней уравнения не существует. А значит единственный действительный корень будет: 1

Answer 2

Чтобы решить уравнение x^6 + x^5 + x^4 - 6x^3 + x^2 + x + 1 = 0, давайте воспользуемся методами алгебры.

1. Мы не можем найти аналитического решения этого уравнения, так как оно является уравнением шестой степени. Такие уравнения, как правило, не имеют общего аналитического решения.

2. Мы можем попробовать найти численное решение с помощью численных методов или компьютерных программ, однако это может быть довольно сложно и не всегда гарантирует точный результат.

3. В данном случае, можно попробовать найти несколько рациональных корней, если они существуют, с помощью метода подбора. Однако, даже если мы найдем рациональные корни, это не даст нам полного решения уравнения.

Давайте проверим, есть ли рациональные корни. Для этого воспользуемся рациональной теоремой корней.

Рациональная теорема корней (Rational Root Theorem) гласит, что если уравнение имеет рациональные корни, то они будут иметь вид p/q, где p - делитель свободного члена (1 в нашем случае), а q - делитель старшего коэффициента при x^6 (1 в нашем случае).

Таким образом, возможные рациональные корни будут ±1.

4. Подставим эти значения в уравнение, чтобы проверить, являются ли они корнями:

• При x = 1: (1)^6 + (1)^5 + (1)^4 - 6(1)^3 + (1)^2 + (1) + 1 = 1 + 1 + 1 - 6 + 1 + 1 + 1 = 0

x = 1 - это корень уравнения.

• При x = -1: (-1)^6 + (-1)^5 + (-1)^4 - 6(-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = 1 - 1 + 1 + 6 + 1 - 1 + 1 = 10

x = -1 не является корнем уравнения.

Таким образом, у нас есть один рациональный корень x = 1.

5. Чтобы найти остальные корни, нам понадобится использовать численные методы или компьютерное программирование. Такие методы могут найти все корни уравнения, включая комплексные корни.

Вывод: Рациональный корень уравнения x^6 + x^5 + x^4 - 6x^3 + x^2 + x + 1 = 0 равен x = 1. Остальные корни могут быть найдены численными методами или программами.