Question

Y=x^4-6x^2+3 Исследовать функцию на экстремум

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для исследования функции на экстремумы, мы должны найти её производные и найти точки, в которых производная равна нулю или не существует. Это позволит нам определить местоположение потенциальных экстремумов.

1. Найдем первую производную функции Y по переменной x: Y' = d/dx (x^4 - 6x^2 + 3) Y' = 4x^3 - 12x

2. Найдем точки, где производная равна нулю: 4x^3 - 12x = 0 4x(x^2 - 3) = 0

   Таким образом, у нас две возможные точки, где производная равна нулю: a) x = 0 б) x^2 - 3 = 0

   Решим уравнение x^2 - 3 = 0: x^2 = 3 x = ±√3 (положительные и отрицательные значения)

3. Найдем вторую производную функции Y по переменной x: Y'' = d^2/dx^2 (x^4 - 6x^2 + 3) Y'' = d/dx(4x^3 - 12x) Y'' = 12x^2 - 12

4. Определим тип экстремума в найденных точках.

   a) x = 0: Подставим x = 0 во вторую производную: Y''(0) = 12 * 0^2 - 12 = -12 Если вторая производная отрицательна (Y'' < 0), то это означает, что функция имеет максимум в данной точке.

   б) x = √3 (или x = -√3): Подставим x = √3 во вторую производную: Y''(√3) = 12 * (√3)^2 - 12 = 12 * 3 - 12 = 36 - 12 = 24 Подставим x = -√3 во вторую производную: Y''(-√3) = 12 * (-√3)^2 - 12 = 12 * 3 - 12 = 36 - 12 = 24

   Если вторая производная положительна (Y'' > 0) при x = √3 (или x = -√3), то это означает, что функция имеет минимум в данных точках.

Таким образом, мы получили следующие результаты:

• Функция имеет максимум при x = 0.
• Функция имеет минимумы при x = √3 и x = -√3.