Question

Найдите промежутки убывания функции y=x^3-3x^2+2

Answer 1

Y'=3x²-6x=0
3x(x-2)=0
х1=0; х2=2
нанесем корни на числовую ось и определим знак производной на интервалах, для этого надо брать любое число из интервала и подставлять в производную и вычислять ее значение, если получится положительное число то знак +, если отрицательное то знак - 
 +               -                    +
-------------------------------------------------->
          0                  2
промежуток убывания там где производная имеет знак -
х∈(0;2)

Answer 2

Для найти промежутки убывания функции y = x^3 - 3x^2 + 2, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции y по x.
2. Решите уравнение y'(x) = 0, чтобы найти критические точки.
3. Проверьте знак производной на интервалах между критическими точками, чтобы определить убывание функции.

Шаг 1: Найдем производную функции y по x: y'(x) = d/dx (x^3 - 3x^2 + 2) y'(x) = 3x^2 - 6x

Шаг 2: Найдем критические точки, приравнив производную к нулю: 3x^2 - 6x = 0

Решим это уравнение: 3x(x - 2) = 0

Таким образом, критические точки равны x = 0 и x = 2.

Шаг 3: Определим знак производной на интервалах между критическими точками:

Интервал (-∞, 0): Выберем значение x = -1 (значение между -∞ и 0) и подставим его в y'(x): y'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 (положительное)

Интервал (0, 2): Выберем значение x = 1 (значение между 0 и 2) и подставим его в y'(x): y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 (отрицательное)

Интервал (2, ∞): Выберем значение x = 3 (значение больше 2) и подставим его в y'(x): y'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 (положительное)

Теперь можно сделать выводы:

• На интервале (-∞, 0) функция убывает (знак производной положительный).
• На интервале (0, 2) функция также убывает (знак производной отрицательный).
• На интервале (2, ∞) функция снова убывает (знак производной положительный).

Таким образом, промежутки убывания функции y = x^3 - 3x^2 + 2 на всей числовой прямой (-∞, +∞) являются (-∞, 0) и (2, +∞).