Question

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x)=2x^3-6x на промежутке [0; 3]

Answer 1

Найдем критические точки: f'(x)=6x²-6=0, x²=1, x1=-1 не входит в заданный промежуток, х2=+1 входит, это минимум функции min f(1)=-4 -наименьшее значение. Наибольшее значение при х=3 f(3)=36

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = 2x^3 - 6x на промежутке [0; 3], мы должны проанализировать значения функции в крайних точках промежутка и во всех точках, где производная функции равна нулю.

1. Найдем значения функции в крайних точках промежутка [0; 3]:

• При x = 0: f(0) = 2(0)^3 - 6(0) = 0
• При x = 3: f(3) = 2(3)^3 - 6(3) = 2(27) - 18 = 36

2. Найдем значения функции в точках, где производная равна нулю: Найдем производную функции f(x) и приравняем ее к нулю:

f'(x) = d/dx (2x^3 - 6x) = 6x^2 - 6

Чтобы найти значения x, при которых f'(x) = 0, решим уравнение:

6x^2 - 6 = 0 6x^2 = 6 x^2 = 1 x = ±√1 x = ±1

Таким образом, у нас есть две критические точки x = 1 и x = -1.

3. Определим значения функции в найденных критических точках:

• При x = 1: f(1) = 2(1)^3 - 6(1) = 2 - 6 = -4
• При x = -1: f(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) = -2 + 6 = 4

Теперь у нас есть следующие значения функции: f(0) = 0 f(1) = -4 f(3) = 36 f(-1) = 4

Наибольшее значение функции на промежутке [0; 3] равно 36, а наименьшее значение равно -4.