Question

Помогите пожалуйста BlessRNG. Найдите первообразную функции f(x) = x-2x^3, график которого пересекает ось ординат в точке(0;3).

Answer 1

F(x)= интеграл[(x-2x^3)dx]+C= x²/2-x^4/2+C, в т.(0,3) 3=0-0+С, С=3, F(x)=x²/2-x⁴/2+3 -ответ

Answer 2

Конечно, давайте найдем первообразную функции $f(x) = x - 2x^3$.

Чтобы найти первообразную (интеграл) этой функции, мы должны найти функцию $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. Математически это записывается следующим образом:

$F'(x) = f(x)$

Сначала проинтегрируем функцию $f(x)$ по частям:

$\int (x - 2x^3) dx$

Для интегрирования по частям применяется формула $\int u dv = uv - \int v du$, где $u$ и $v$ - это функции от $x$, а $du$ и $dv$ - их дифференциалы.

Выберем:

$u = x$ (первая функция в произведении), $dv = dx$ (дифференциал второй функции).

Тогда:

$du = dx$ (дифференциал первой функции), $v = \int dx = x$ (интеграл второй функции).

Применяем формулу:

$\int (x - 2x^3) dx = x \cdot x - \int x \cdot dx - 2 \int x^3 dx = x^2 - \int x dx - 2 \int x^3 dx$

Теперь проинтегрируем каждый из трех членов полученного выражения:

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_1$ $\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C_2$

Где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные интегрирования.

Таким образом, первообразная $F(x)$ функции $f(x) = x - 2x^3$ равна:

$F(x) = x^2 - \frac{x^2}{2} - 2 \cdot \frac{x^4}{4} + C$

Сократим подобные члены:

$F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{2} + C$

Теперь для определения константы $C$ воспользуемся условием, что график функции пересекает ось ординат в точке (0, 3). Это означает, что когда $x = 0$, $F(x) = 3$:

$F(0) = 3$

Подставим $x = 0$ в уравнение $F(x)$:

$F(0) = \frac{0^2}{2} - \frac{0^4}{2} + C = 0 + C = C$

Таким образом, $C = 3$.

Итак, первообразная функции $f(x) = x - 2x^3$ равна:

$F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{2} + 3$