Question

Помогите пожалуйста Решить уравнение 2sin3x×cosx-sin4x+cos2x=1

Answer 1

Преобразуем первое слагаемое: от произведения перейдем к сумме синусов:
   $\displaystyle 2\cdot \frac{1}{2} \cdot\bigg(\sin (3x+x)+\sin (3x-x)\bigg)-\sin4x+\cos2x=1\\ \\ \sin 4x+\sin 2x-\sin 4x+\cos 2x=1\\ \\ \sin2x+\cos 2x=1$

По формуле содержащего дополнительного угла, имеем

$\sqrt{1^2+1^2}\sin(2x+\arcsin \frac{1}{ \sqrt{1^2+1^2} } )=1\\ \\ \sin(2x+ \frac{\pi}{4})= \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \\ 2x+\frac{\pi}{4} =(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4} +\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ 2x=(-1)^k\cdot\frac{\pi}{4} -\frac{\pi}{4} + \pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ \boxed{x=(-1)^k\cdot\frac{\pi}{8} -\frac{\pi}{8} +\frac{\pi k}{2},k \in \mathbb{Z} }$

Answer 2

Давайте решим уравнение 2sin3x × cosx - sin4x + cos2x = 1:

1. Разложим sin(4x) и cos(2x) через более простые функции: sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x) cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)

2. Заменим sin(4x) и cos(2x) в исходном уравнении: 2sin(3x)cos(x) - 2sin(2x)cos(2x) + 1 - 2sin^2(x) = 1

3. Преобразуем выражение, объединяя похожие слагаемые и удалим нулевые слагаемые: 2sin(3x)cos(x) - 2sin(2x)(1 - 2sin^2(x)) + 1 - 2sin^2(x) = 1

4. Раскроем скобки: 2sin(3x)cos(x) - 2sin(2x) + 4sin^3(x) + 1 - 2sin^2(x) = 1

5. Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения: 2sin(3x)cos(x) - 2sin(2x) + 4sin^3(x) + 1 - 2sin^2(x) - 1 = 0

6. Упростим уравнение: 2sin(3x)cos(x) - 2sin(2x) + 4sin^3(x) - 2sin^2(x) = 0

7. Заменим sin(3x) и sin(2x) через более простые функции: sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x) sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

8. Подставим значения sin(3x) и sin(2x) в уравнение: 2(3sin(x) - 4sin^3(x))cos(x) - 2(2sin(x)cos(x)) + 4sin^3(x) - 2sin^2(x) = 0

9. Раскроем скобки: 6sin(x)cos(x) - 8sin^3(x)cos(x) - 4sin(x)cos(x) + 4sin^3(x) - 2sin^2(x) = 0

10. Сгруппируем слагаемые: (6sin(x)cos(x) - 4sin(x)cos(x)) - (8sin^3(x)cos(x) - 4sin^3(x)) - 2sin^2(x) = 0

11. Упростим уравнение: 2sin(x)cos(x) - 4sin^3(x)cos(x) - 2sin^2(x) = 0

12. Факторизуем уравнение: 2sin(x)cos(x)(1 - 2sin^2(x)) - 2sin^2(x) = 0

13. Вынесем общий множитель: 2sin^2(x)cos(x)(1 - 2sin^2(x)) - 2sin^2(x) = 0

14. Обозначим sin(x) за t для удобства записи: 2t^2(1 - 2t^2) - 2t^2 = 0

15. Раскроем скобки: 2t^2 - 4t^4 - 2t^2 = 0

16. Упростим уравнение: -4t^4 = 0

17. Решим полученное уравнение: t^4 = 0

18. Так как t^4 = (sin(x))^4, то получим: (sin(x))^4 = 0

19. Найдем корень уравнения: sin(x) = 0

20. Теперь найдем значения x, удовлетворяющие уравнению: x = 0 + kπ, где k - целое число.

Таким образом, решением уравнения 2sin(3x)cos(x) - sin(4x) + cos(2x) = 1 являются все значения x, которые можно записать в виде x = kπ, где k - целое число.