Question

Как решать задачи с кредитами? Например, такую: Геннадий взял кредит в банке. По договору Геннадий должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется 3% от этой суммы, и своим ежемесячным платежом Геннадий погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц. На сколько процентов выплаченная сумма превысит сумму выданного кредита, если кредит был взят на 11 месяцев? И да, здесь неизвестно, ни сколько он взял денег, ни сколько он платит каждый месяц. Ответ я знаю: на 18%. Как это решить?

Answer 1

Пусть сумма кредита равна S По условию долг должен уменьшаться до нуля равномерно:

$S;\frac{10S}{11} ;...\frac{2S}{11} ;\frac{S}{11} ;0$

К концу каждого месяца к сумме долга добавляется 3%

$k=1+\frac{3}{100} =1.03$

последовательность сумм долга вместе с процентами :

$kS;\frac{10kS}{11} ;...;\frac{2kS}{11} ;\frac{kS}{11} \\ \\ 1.03S;\frac{10*1.03S}{11} ;...;\frac{2*1.03S}{11} ;\frac{1.03S}{11}$

⇒выплаты должны быть

$(1.03-1)S+\frac{S}{11} ;\frac{10(1.03-1)S+S}{11} ;...;\frac{2(1.03-1)S+S}{11} ;\frac{(1.03-1)S+S}{11}$

Всего надо выплатить:

$s+s(1.03-1)(1+\fracno numeric noise key 1032no numeric noise key 1031 +...+\fracno numeric noise key 1030no numeric noise key 1029 +\fracno numeric noise key 1028no numeric noise key 1027 )=\\ \\ s(1+\fracno numeric noise key 1026no numeric noise key 1025></p> <p> </p> <p>18%</p> </div> <div class=$ 0 0

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте предположим, что Геннадий взял кредит на сумму "Х" (в долларах, например). Изначально, сумма долга равна "Х". Каждый месяц он выплачивает фиксированную сумму "У" (в долларах) и 3% от оставшейся суммы долга.

1. Первый месяц: Остаток долга: Х Выплата: У + 3% Х

2. Второй месяц: Остаток долга: Х - (У + 3% Х) = Х - У - 0.03Х Выплата: У + 3% (Х - У - 0.03Х) = У + 0.03Х - 0.03У

3. Третий месяц: Остаток долга: (Х - У - 0.03Х) - (У + 0.03Х - 0.03У) = Х - 2У - 0.06Х + 0.03У = 0.97Х - 2У Выплата: У + 3% (0.97Х - 2У) = У + 0.0291Х - 0.06У

И так далее. Обратите внимание, что каждый месяц сумма долга уменьшается на одну и ту же величину "У".

Теперь давайте предположим, что Геннадий погашает кредит в течение 11 месяцев, и после этого весь кредит будет выплачен. Последний платеж в 11-м месяце составит "У" (так как это последний платеж, оставшаяся сумма долга станет равной нулю).

Теперь нам нужно найти сумму всех его выплат за 11 месяцев и сравнить ее с суммой выданного кредита "Х":

Сумма выплат за 11 месяцев = У + (У + 0.03Х - 0.03У) + (У + 0.0291Х - 0.06У) + ... + (последний платеж "У") = 11У + 0.03Х - 0.03У + 0.0291Х - 0.06У + ... + (последний платеж "У")

Так как каждый месяц выплата уменьшается на 3% от оставшегося долга, можно заметить, что все "0.03У", "0.06У" и т.д. будут взаимоуничтожаться в расчетах.

Теперь выражаем сумму всех платежей:

Сумма выплат за 11 месяцев = 11У + 0.03Х + 0.0291Х + ... + (последний платеж "У") = 11У + (0.03Х + 0.0291Х + ... + (последний платеж "У"))

Теперь заметим, что сумма (0.03Х + 0.0291Х + ... + (последний платеж "У")) представляет собой прогрессию с постоянным шагом (0.0291Х - У) и количеством членов равным 11 (так как у нас 11 месяцев).

Формула суммы прогрессии: S = (n/2) * (a + l), где "n" - количество членов прогрессии, "a" - первый член прогрессии, "l" - последний член прогрессии.

Теперь, "a" (первый член прогрессии) = 0.03Х, "l" (последний член прогрессии) = последний платеж "У", "n" = 11.

Таким образом, сумма выплат за 11 месяцев = 11У + (0.03Х + 0.0291Х + ... + (последний платеж "У")) = 11У + (11/2) * (0.03Х + последний платеж "У").

Так как последний платеж "У" является последним членом прогрессии, он равен "a + (n-1) * шаг". В нашем случае "a" = 0.03Х, "n" = 11, и "шаг" = (0.0291Х - У). Подставляем значения:

последний платеж "У" = 0.03Х + (11-1) * (0.0291Х - У) = 0.03Х + 10 * (0.0291Х - У) = 0.03Х + 0.291Х - 10У.

Теперь выражаем сумму всех платежей:

Сумма выплат за 11 месяцев = 11У + (11/2) * (0.03Х + последний платеж "У") = 11У + (11/2) * (0.03Х + 0.03Х + 0.291Х - 10У) = 11У + (11/2) * (0.621Х - 10У) = 11У + 5.5 * (0.621Х - 10У) = 11У + 3.4155Х - 55У = 3.415