Question

Найдите последнюю цифру числа 1*1+2*2+...+98*98+99*99

Answer 1

5 - если просчитать от 1 до 9 то получится 5. Цифры на 0 отбрасываем. Всего наборов от 1 до 9 - 9. 5*9 = 45, т.е. оканчивается на 5.

Answer 2

Давайте рассмотрим сумму квадратов чисел от 1 до 99: 11 + 22 + 33 + ... + 9898 + 99*99.

Посмотрим на последние цифры квадратов чисел от 1 до 9: 11 = 1 22 = 4 33 = 9 44 = 16 55 = 25 66 = 36 77 = 49 88 = 64 9*9 = 81

Как видим, последние цифры квадратов чисел от 1 до 9 образуют периодическую последовательность: 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0, 1, 4, ...

Каждая из последних цифр встречается в этой последовательности 10 раз (от 1 до 10).

Теперь рассмотрим сумму квадратов чисел от 1 до 99. У нас есть 10 групп по 10 чисел (от 1 до 10, от 11 до 20, и т. д.), каждая из которых содержит все возможные последние цифры (от 0 до 9).

Сумма последних цифр всех чисел в каждой из этих групп будет равна сумме периодической последовательности, умноженной на 10.

1 + 4 + 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 4 + 1 + 0 = 45

Таким образом, сумма последних цифр всех квадратов чисел от 1 до 99 равна 45*10 = 450.

Теперь нам нужно найти последнюю цифру этой суммы, что достигается путем деления суммы на 10 и взятия остатка:

450 % 10 = 0

Поэтому последняя цифра суммы 11 + 22 + ... + 9898 + 9999 равна 0.