Question

В N -ичной системе счисления верен признак делимости: число делится на 28 если и только если на 28 делится число, образованное двумя последними цифрами. При каком наименьшем n это возможно.

Answer 1

Пусть запись в n-ичной системе счисления выглядит так: $\overline{Abc}$, где b, c – последние цифры, A – число, образованное всеми остальными цифрами.

$\overline{Abc}_n=An^2+\overline{bc}_n$ делится на 28, если и только если на 28 делится $\overline{bc}_n$ вне зависимости от A. Значит, $An^2$ делится на 28 при любом А, откуда 28 – делитель числа $n^2$

$28=7\cdot2^2$, поэтому $n$ должно делиться на 7 и на 2. Минимальное подходящее n – 14.

Answer 2

Для понимания данной проблемы, давайте рассмотрим сначала как происходит деление на 28 в десятичной системе счисления.

В десятичной системе счисления число делится на 28, если две последние цифры числа образуют число, которое делится на 28. Например, 1236 делится на 28, потому что 36 делится на 28.

Теперь рассмотрим, как это может работать в N-ичной системе счисления. В N-ичной системе, последние две цифры представляются как N^1 * a + N^0 * b, где "a" и "b" - это числа в N-ичной системе счисления, представляющие две последние цифры. Мы хотим, чтобы это число делится на 28, и это происходит только тогда, когда N^1 * a + N^0 * b делится на 28.

Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

N^1 * a + N^0 * b ≡ 0 (mod 28)

Теперь давайте посмотрим на возможные значения N:

1. N = 2: Если N = 2, то N^1 = 2 и N^0 = 1. Подставим это в уравнение:

2a + b ≡ 0 (mod 28)

Наименьшее положительное целое решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям a < N и b < N, это a = 7 и b = 14. Проверим:

2 * 7 + 14 = 28, что делится на 28.

Таким образом, N = 2 является одним из возможных значений.

2. N = 3: Если N = 3, то N^1 = 3 и N^0 = 1. Подставим это в уравнение:

3a + b ≡ 0 (mod 28)

Однако, у этого уравнения нет решения для a и b, которые удовлетворяют условиям a < N и b < N. Поэтому N = 3 не подходит.

3. N = 4: Если N = 4, то N^1 = 4 и N^0 = 1. Подставим это в уравнение:

4a + b ≡ 0 (mod 28)

Также как и для N = 3, у этого уравнения нет решения для a и b, которые удовлетворяют условиям a < N и b < N. Поэтому N = 4 не подходит.

4. N = 5: Если N = 5, то N^1 = 5 и N^0 = 1. Подставим это в уравнение:

5a + b ≡ 0 (mod 28)

Опять же, у этого уравнения нет решения для a и b, которые удовлетворяют условиям a < N и b < N. Поэтому N = 5 не подходит.

5. N = 6: Если N = 6, то N^1 = 6 и N^0 = 1. Подставим это в уравнение:

6a + b ≡ 0 (mod 28)

Также как и для предыдущих значений N, у этого уравнения нет решения для a и b, которые удовлетворяют условиям a < N и b < N. Поэтому N = 6 не подходит.

6. N = 7: Если N = 7, то N^1 = 7 и N^0 = 1. Подставим это в уравнение:

7a + b ≡ 0 (mod 28)

Наименьшее положительное целое решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям a < N и b < N, это a = 4 и b = 0. Проверим:

7 * 4 + 0 = 28, что делится на 28.

Таким образом, N = 7 является наименьшим значением, при котором возможен признак делимости: число делится на 28, если и только если на 28 делится число, образованное двумя последними цифрами.