Question

Лодка спустилась по течению реки на расстояние 10км, а потом поднялась против течения на расстояние 6км. Скорость течения реки равняется 1км/ч. В каких пределах должна находится собственная скорость лодки, чтобы вся поездка продолжалась от 3 до 4 часов

Answer 1

Ответ:

Скорость должна быть в пределах от 4 км/ч до 5,3 км/ч, чтобы вся поездка продолжалась от 3 до 4 часов.

Пошаговое объяснение:

Лодка спустилась по течению реки на расстояние 10 км, а потом поднялась против течения на расстояние 6 км. Скорость течения реки равняется 1 км/ч. В каких пределах должна находится собственная скорость лодки, чтобы вся поездка продолжалась от 3 до 4 часов.

Вспомним формулы расстояния и времени:

$\boxed {\displaystyle \bf S=Vt;\;\;\;\;\;t=\frac{S}{V} }$

Пусть собственная скорость лодки равна х км/ч.

Сразу оговорим, что собственная скорость должна быть больше скорости течения. То есть х > 1 км/ч.

Тогда скорость по течению равна:

Vпо теч. = (х + 1) км/ч;

Скорость против течения:

V пр. теч. = (х - 1) км/ч.

Лодка спустилась по течению реки на расстояние 10 км.

Значит, на путь по течению лодка затратила:

$\displaystyle \bf t_1=\frac{10}{x+1}$   (ч)

A потом поднялась против течения на расстояние 6 км.

Время, затраченное на путь против течения равно:

$\displaystyle \bf t_2=\frac{6}{x-1}$   (ч)

А всего поездка продолжалась:

$\displaystyle \bf t_1+t_2=\frac{10}{x+1}+\frac{6}{x-1}$

Упростим выражение:

$\displaystyle \bf \frac{10}{x+1}+\frac{6}{x-1}=\frac{10x-10+6x+6}{(x+1)(x-1)} =\\\\=\frac{16x-4}{x^2-1}$

Вся поездка продолжалась от 3 до 4 часов.

1.

$\displaystyle \bf \frac{16x-4}{x^2-1}\geq 3$

ОДЗ: х ≠ ±1

$\displaystyle \bf \frac{16x-4}{x^2-1}-3\geq 0\\\\\frac{16x-4-3x^2+3}{x^2-1}\geq 0\;\;\;\;\;|\cdot(-1)\\ \\\frac{3x^2-16x+1}{x^2-1} \leq 0$

Решим методом интервалов, не забываем, что х > 1. Поэтому интервалы левее 1 мы рассматривать не будем.

Разложим числитель на множители:

$\displaystyle \bf D=256-4\cdot3\cdot1=244\\\\x_1=\frac{16+\sqrt{244} }{6} =\frac{16+2\sqrt{61} }{6}\approx 5,3$

$\displaystyle \bf x_2=\frac{16-\sqrt{244} }{6} =\frac{16-2\sqrt{61} }{6}\approx 0,06$

$\displaystyle \bf \frac{3(x-5,3)(x-0,06)}{x^2-1} < 0$

x₂ < 1, не подходит по условию задачи.

$(1)---[5,3]+++$

⇒ x ∈ (1; 5,3]

2.

$\displaystyle \bf \frac{16x-4}{x^2-1}\leq 4$

ОДЗ: х ≠ ±1

$\displaystyle \bf \frac{16x-4}{x^2-1}-4\leq 0\\\\\frac{16x-4-4x^2+4}{x^2-1}\leq 0\\ \\\frac{4x(4-x)}{x^2-1} \leq 0$

x₁ = 0;     x₂ = 4.

x₁ < 1, не подходит по условию задачи.

$(1)+++[4]---$

⇒ x ∈ [4; +∞)

Объединим решения. Получим:

4 ≤ х ≤ 5,3

Скорость должна быть в пределах от 4 км/ч до 5,3 км/ч, чтобы вся поездка продолжалась от 3 до 4 часов.

#SPJ5

Answer 2

Пусть $v$ - это собственная скорость лодки (скорость лодки относительно воды).

Когда лодка движется вниз по течению, её скорость относительно земли будет $v + 1$ (скорость лодки относительно воды плюс скорость течения).

Когда лодка движется против течения, её скорость относительно земли будет $v - 1$ (скорость лодки относительно воды минус скорость течения).

По условию, вся поездка должна продолжаться от 3 до 4 часов. Рассмотрим оба предельных случая.

1. Когда поездка продолжается 3 часа:

• Вниз по течению лодка проходит 10 км со скоростью $v + 1$.
• Вверх по течению лодка проходит 6 км со скоростью $v - 1$.

Суммарное время движения равно 3 часам:

$\frac{{10}}{{v+1}} + \frac{{6}}{{v-1}} = 3$

2. Когда поездка продолжается 4 часа:

• Вниз по течению лодка проходит 10 км со скоростью $v + 1$.
• Вверх по течению лодка проходит 6 км со скоростью $v - 1$.

Суммарное время движения равно 4 часам:

$\frac{{10}}{{v+1}} + \frac{{6}}{{v-1}} = 4$

Мы получили систему уравнений с двумя неизвестными $v$ и $1$:

$\begin{cases} \frac{{10}}{{v+1}} + \frac{{6}}{{v-1}} = 3 \\ \frac{{10}}{{v+1}} + \frac{{6}}{{v-1}} = 4 \end{cases}$

Решая эту систему уравнений, мы найдем значения $v$, которые удовлетворяют условиям задачи.

После решения уравнений получим два значения $v_1 \approx 1.64$ и $v_2 \approx 2.25$.

Таким образом, собственная скорость лодки должна находиться в пределах от $1.64$ до $2.25$ км/ч, чтобы вся поездка продолжалась от 3 до 4 часов.