Question

Какое количество целых решений неравенства: х³ умножить на модуль {х²-10х+16} БОЛЬШЕ нуля на промежутке (-1;7} - включая семь!

Answer 1

Ответ:.....................

Answer 2

Давайте рассмотрим неравенство по частям.

1. Хотя неравенство имеет вид х³ * |х² - 10х + 16| > 0, чтобы упростить решение, давайте разделим обе стороны на х³ (предполагая, что х ≠ 0). Получим: |х² - 10х + 16| > 0.

2. Рассмотрим модуль |х² - 10х + 16|. Модуль всегда неотрицателен, и он будет равен нулю только в случае, если выражение внутри модуля равно нулю. Таким образом, для |х² - 10х + 16| > 0 необходимо и достаточно, чтобы выражение х² - 10х + 16 не равнялось нулю.

3. Теперь решим уравнение х² - 10х + 16 = 0:

   Используем квадратное уравнение для нахождения корней: х = (10 ± √(10² - 4 * 1 * 16)) / 2 х = (10 ± √(100 - 64)) / 2 х = (10 ± √36) / 2 х = (10 ± 6) / 2

   Таким образом, корни уравнения х² - 10х + 16 = 0 равны: х₁ = 8 и х₂ = 2.

4. Находим интервалы между корнями уравнения (2, 8) и определяем, в каких интервалах выполняется неравенство х³ * |х² - 10х + 16| > 0:

   а) Интервал (-1, 2): Подставим в неравенство х из этого интервала и проверим, выполняется ли неравенство: х = 0: 0³ * |0² - 10 * 0 + 16| = 0 * |0| = 0 (не выполняется) х = 1: 1³ * |1² - 10 * 1 + 16| = 1 * |1 - 10 + 16| = 1 * |7| = 7 (выполняется)

   б) Интервал (2, 8): Подставим в неравенство х из этого интервала и проверим, выполняется ли неравенство: х = 3: 3³ * |3² - 10 * 3 + 16| = 27 * |9 - 30 + 16| = 27 * |-5| = 27 * 5 = 135 (выполняется) ... х = 7: 7³ * |7² - 10 * 7 + 16| = 343 * |49 - 70 + 16| = 343 * |-5| = 343 * 5 = 1715 (выполняется)

   в) Интервал (8, 7): Неравенство не выполняется, так как интервал задан неверно (левая граница 8 больше правой границы 7).

Итак, неравенство х³ * |х² - 10х + 16| > 0 выполняется на промежутках (-1, 2) и (2, 7]. Обратите внимание, что интервалы обозначены с использованием круглых и квадратных скобок для учета и неучета граничных значений. Теперь определим количество целых решений на каждом интервале:

1. Интервал (-1, 2): В этом интервале выполняется только одно целое значение х = 1.

2. Интервал (2, 7]: В этом интервале значения х = 3, 4, 5, 6, и 7 соответствуют целым числам.

Таким образом, общее количество целых решений неравенства х³ * |х² - 10х + 16| > 0 на промежутке (-1, 7] равно 6 (1 из первого интервала и 5 из второго интервала).