Question

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить н-во! log3(1/x+1) + log3(1/x-1) < или = log3(8x-1)

Answer 1

$log_{3}( \frac{1}{x} + 1) + log_{3}( \frac{1}{x} - 1) \leqslant log_{3}( 8x - 1) \\ odz \: \: \: x∈( \frac{1}{8}; \: 1)\\ log_{3}(( { \frac{1}{x} )}^{2} - {1}^{2} ) \leqslant log_{3}(8x - 1) \\ \frac{1}{ {x}^{2} } - 1 \leqslant 8x - 1 \\ 8x - \frac{1}{ {x}^{2} } \geqslant 0 \\ \frac{8 {x}^{3} - 1}{ {x}^{2} } \geqslant 0 \\ 8 {x}^{3} - 1 \geqslant 0 \\ 8 {x}^{3 } \geqslant1 \\ {x}^{3} \geqslant \frac{1}{8} \\ x \geqslant \sqrt[3]{ \frac{1}{8} } \\ x \geqslant \frac{1}{2} \\ otvet: \: \: \: x∈[\frac{1}{2} ;1) \: \:$

Answer 2

Здравствуйте!

Чтобы решить данное неравенство с логарифмами, давайте начнем с упрощения выражений под логарифмами. Затем применим свойства логарифмов и решим неравенство.

1. Упрощение выражений под логарифмами: Предположим, что все выражения под логарифмами положительны, чтобы логарифмы были определены. 1/x + 1 > 0 => 1/x > -1 => x > -1 1/x - 1 > 0 => 1/x > 1 => x > 1

2. Применение свойств логарифмов: log3(1/x + 1) + log3(1/x - 1) ≤ log3(8x - 1)

Теперь объединим два логарифма справа в один, используя свойство логарифма произведения: log3[(1/x + 1)(1/x - 1)] ≤ log3(8x - 1)

3. Отмена логарифмов и решение неравенства: Теперь можем отменить логарифмы, используя свойство инъективности логарифма: (1/x + 1)(1/x - 1) ≤ 8x - 1

Раскроем скобки: (1/x)^2 - 1 ≤ 8x - 1

Упростим: (1/x)^2 ≤ 8x

Теперь умножим обе стороны на x^2, при условии, что x ≠ 0 (так как логарифмы не определены при x = 0): 1 ≤ 8x^3

Теперь разделим обе стороны на 8: 1/8 ≤ x^3

Найдем кубический корень от обеих сторон (заметьте, что знак неравенства не меняется, потому что корень четной степени сохраняет знак): ∛(1/8) ≤ x

Упростим: 1/2 ≤ x

Таким образом, решением данного неравенства является x, принадлежащий интервалу [1/2, +∞), при условии, что x ≠ 0, 1 и -1.