Question

Найти наибольшее число, удовлетворяющен неравенству log_4z (х^2-7х+10)<=1

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для неравенства $\log_4(z)(x^2-7x+10) \leq 1$ необходимо решить два неравенства: $\log_4(z) \leq 1$ и $x^2-7x+10 \geq 0$.

1. Решение для $\log_4(z) \leq 1$:

Перепишем $\log_4(z) \leq 1$ в эквивалентной форме:

$4^{\log_4(z)} \leq 4^1$.

Так как $4^{\log_4(z)} = z$, получим:

$z \leq 4$.

2. Решение для $x^2-7x+10 \geq 0$:

Для решения квадратного неравенства $x^2-7x+10 \geq 0$, найдем корни квадратного уравнения $x^2-7x+10 = 0$:

$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$.

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$.

$x = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2}$.

$x = \frac{7 \pm 3}{2}$.

Таким образом, корни уравнения $x^2-7x+10 = 0$ равны $x = 5$ и $x = 2$.

Теперь определим знак выражения $x^2-7x+10$ на интервалах между корнями и за пределами этих корней:

1. Если $x < 2$, то $x^2-7x+10 > 0$.
2. Если $2 < x < 5$, то $x^2-7x+10 < 0$.
3. Если $x > 5$, то $x^2-7x+10 > 0$.

Таким образом, нам интересует интервал $[2, 5]$, где $x^2-7x+10 \leq 0$.

Таким образом, решение неравенства $\log_4(z)(x^2-7x+10) \leq 1$ будет:

$2 \leq x \leq 5$ и $z \leq 4$.