Question

Помогите пожалуйста решить уравнение: корень из (logx корень из 5x) = logx 5

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом.

1. Начнем с уравнения: корень из (logx корень из 5x) = logx 5.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: (logx корень из 5x)^2 = (logx 5)^2.

3. Выполним возведение в квадрат в левой части уравнения: (logx корень из 5x)^2 = (logx 5)^2 logx (5x) = (logx 5)^2.

4. Применим свойство логарифма: log_a(b^c) = c * log_a(b). Получим: logx 5x = (logx 5)^2.

5. Сократим логарифмы: logx 5 + logx x = (logx 5)^2.

6. Заметим, что logx x = 1 для любого положительного x. Подставим это в уравнение: logx 5 + 1 = (logx 5)^2.

7. Обозначим logx 5 за t, тогда уравнение примет вид: t + 1 = t^2.

8. Перенесем все в одну сторону: t^2 - t - 1 = 0.

9. Решим квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac.

Для уравнения ax^2 + bx + c = 0, где a = 1, b = -1 и c = -1, имеем: D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-1) = 1 + 4 = 5.

10. Так как дискриминант D > 0, уравнение имеет два действительных корня: t = (1 ± √5) / 2.

Таким образом, мы нашли два значения t.

11. Вернемся к обозначениям и найдем x: logx 5 = t.

12. Найдем два значения x: a) logx 5 = (1 + √5) / 2 Это уравнение можно переписать как: x^((1 + √5) / 2) = 5. b) logx 5 = (1 - √5) / 2 Это уравнение можно переписать как: x^((1 - √5) / 2) = 5.

13. Найдем численные значения x, взяв экспоненту от обеих сторон уравнений: a) x = e^((1 + √5) / 2) ≈ 3.791. b) x = e^((1 - √5) / 2) ≈ 0.209.

Таким образом, уравнение имеет два решения: x ≈ 3.791 и x ≈ 0.209.