Question

При каких значениях параметра k график функции y=(k-1)(x^2) - 4kx+4x-3 лежит целиком ниже оси Ox?

Answer 1

a=k-1

b=4-4k

c=-3

вершина находится по формуле

x0=-b/2a=-4(1-k)/(2(1-k))=-4/2=-2

y0=(k-1)*4-4k(-2)+4(-2)-3=4k-4+8k-8-3=12k-15<0

12k<15; k<1.25

так как ветви параболы должны быть направлены вниз еще, то коэффициент а -перед x^2 должен быть <0

k-1<0; k<1

учитывая оба условия по к-вывод к<1

Answer 2

Для того чтобы график функции лежал целиком ниже оси Ox, необходимо, чтобы все значения функции были отрицательными.

Для данной функции y = (k-1)x^2 - 4kx + 4x - 3, заметим, что это квадратичная функция. График такой функции может быть параболой, направленной вверх или вниз, в зависимости от знака коэффициента при x^2 (k-1).

Чтобы найти интервалы значений k, при которых график функции лежит целиком ниже оси Ox, нужно убедиться, что все коэффициенты при степенях x положительны.

1. Коэффициент при x^2 (k-1) должен быть положительным, чтобы парабола была направлена вверх. Таким образом, k-1 > 0.

2. Чтобы убедиться, что парабола не пересекает ось Ox (т.е., лежит целиком ниже нее), найдем дискриминант квадратного уравнения и убедимся, что он отрицательный:

Дискриминант (D) для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В нашем случае a = (k-1), b = -4k, и c = -3.

D = (-4k)^2 - 4(k-1)(-3) = 16k^2 + 12(k-1) = 16k^2 + 12k - 12.

Для того, чтобы D было отрицательным, нужно, чтобы коэффициент при k^2 (16) был положительным, а коэффициент при k (-12) был отрицательным.

Таким образом, 16k^2 + 12k - 12 > 0.

3. Коэффициент при x (4) должен быть положительным, чтобы парабола не пересекала ось Ox.

Теперь, объединим все условия:

1. k - 1 > 0 => k > 1.

2. 16k^2 + 12k - 12 > 0 => k^2 + (3/4)k - 3/4 > 0.

Теперь найдем интервалы, удовлетворяющие обоим условиям:

Корни квадратного уравнения k^2 + (3/4)k - 3/4 = 0:

k = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

k = (-(3/4) ± √((3/4)^2 - 4*(-3/4))) / 2,

k = (-3/4 ± √(9/16 + 3/4)) / 2,

k = (-3/4 ± √(9/16 + 12/16)) / 2,

k = (-3/4 ± √(21/16)) / 2,

k = (-3/4 ± √21/4) / 2,

k = (-3 ± √21) / 4.

Таким образом, значения параметра k, при которых график функции лежит целиком ниже оси Ox, находятся в интервале:

(-∞, (-3 - √21)/4) и ((-3 + √21)/4, ∞).

Кратко можно записать ответ так: k < (-3 - √21)/4 или k > (-3 + √21)/4.