Question

90 БАЛОВ Принцип Дирихле Дано 8 натуральных чисел <15 Доказать, что среди положительных попарных разниц всегда есть 3 одинаковых

Answer 1

всего попарных разниц: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28

эти разницы могут принимать значения от 1 до 13 (14 - 1 = 13, 14 самое большое натуральное число, которое меньше 15, 1 самое маленькое натуральное число)

если предположить, что каждое число встречается не более двух раз, то всего разниц должно быть не более 13*2 = 26

по принципу Дирихле, есть хотя бы одно число, которое встретилось трижды

Ответ: доказано

Answer 2

Различных разностей может быть 14 – от 1 до 14 – возьмем 14 столиков. На них мы будем класть шарики, ими, конечно, должны быть разности между парами данных нам натуральных чисел. Однако имеется 28 пар и их можно разложить по 14 столикам так, что на каждом столике будет лежать ровно два «шарика» (и значит, на каждом меньше трех). Здесь надо использовать дополнительное соображение: на столикн с номером 14 может лежать не боллее одного шарика, ведь число 14 можно записать как разность двух натуральных чисел, не превосходящих 15, лишь одним способом: 14 = 15 – 1. Значит, на оставшихся 13 столиках лежит не менее 27 шариков, и применение обобщенного принципа Дирихле дает нам желаемый результат.

Answer 3

Принцип Дирихле, также известный как принцип ящиков, утверждает следующее: если имеется n + 1 объектов (чисел) и n ящиков (или категорий), и каждый объект размещается в одном из ящиков, то как минимум в одном из ящиков будет содержаться хотя бы два объекта.

Применим этот принцип к задаче. У нас есть 8 натуральных чисел меньше 15, и мы хотим найти 3 одинаковых числа среди попарных разниц.

Максимальная возможная разница между двумя числами из множества {1, 2, 3, ..., 14} будет между числами 14 и 1, то есть 14 - 1 = 13.

Теперь давайте рассмотрим возможные попарные разницы для этих 8 чисел:

1. Разница между числами 14 и 1: 14 - 1 = 13
2. Разница между числами 14 и 2: 14 - 2 = 12
3. Разница между числами 14 и 3: 14 - 3 = 11
4. Разница между числами 14 и 4: 14 - 4 = 10
5. Разница между числами 14 и 5: 14 - 5 = 9
6. Разница между числами 14 и 6: 14 - 6 = 8
7. Разница между числами 14 и 7: 14 - 7 = 7
8. Разница между числами 14 и 8: 14 - 8 = 6

Как мы видим, у нас есть 8 попарных разниц, и все они различны. Но это противоречит принципу Дирихле, так как у нас 8 различных объектов (попарные разницы) и только 7 "ящиков" (возможные значения разниц).

Следовательно, среди попарных разниц обязательно найдутся 3 одинаковых числа.