Question

По кругу написано 7 натуральных чисел. Попробуйте доказать, что найдутся два соседних числа, сумма которых чётна.

Answer 1

Для двух соседних четных или двух соседних нечетных ничего доказывать не нужно. Очевидно, что:

2n + 2(n+k) = 2(2n+k) - четное при любых n; k∈N, и

(2n - 1) + (2(n+k) - 1) = 2(2n+k) - 2 - четное при любых n; k∈N.

Допустим, что все числа написаны в максимально "неприятном" для нас порядке, - четные и нечетные числа чередуются. Возможны 2 варианта: первое число четное и первое число нечетное.

В первом случае рядом оказываются четные числа под номерами 1 и 7 (если первое число четное и равно 2n, то и седьмое также четное и равно 2(n + k). n; k∈N).

Во втором случае рядом оказываются нечетные числа под номерами 1 и 7 (если первое число нечетное и равно 2n - 1, то и седьмое число также нечетное и равно 2(n + k) - 1. n; k∈N).

Понятное дело, что сумма двух четных так же, как и сумма двух нечетных чисел, есть число четное:

2n + 2(n + k) = 2(2n + k) - четное при любых n; k∈N,

2n - 1 + 2(n + k) - 1 = 2(2n + k) - 2 - четное при любых n; k∈N.

Таким образом, при любом размещении семи натуральных чисел по кругу всегда найдутся два соседних, сумма которых четна.

Answer 2

при нечётном количестве чисел в кругу сумма первого и последнего числа всегда будет чётной

Answer 3

Давайте рассмотрим это утверждение и докажем его методом математической индукции.

Пусть у нас есть 7 натуральных чисел, которые расположены по кругу. Обозначим эти числа как a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆ и a₇. Мы хотим доказать, что существуют два соседних числа, сумма которых чётна.

Шаг 1: Базовый шаг Рассмотрим первую и вторую пары чисел: a₁ + a₂. Возможны два случая: или оба числа чётные, или оба числа нечётные. В обоих случаях сумма a₁ + a₂ будет чётной.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для k-й и (k+1)-й пар чисел (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6) выполняется условие, что сумма этих чисел чётна: a_k + a_(k+1) - чётное число.

Шаг 3: Индукционный переход Рассмотрим пару чисел a₆ и a₇. По предположению индукции, a₆ + a₇ - чётное число. Теперь рассмотрим пару чисел a₇ и a₁. Если a₇ чётное, а a₁ тоже чётное, то их сумма a₇ + a₁ будет чётной. Если a₇ нечётное, то и a₁ будет нечётным, и их сумма a₇ + a₁ также будет чётной.

Таким образом, мы доказали, что для всех пар чисел, кроме первой и второй, сумма чисел будет чётной. Исходя из этого, среди семи чисел, найдется две соседние суммы, которые будут чётными, что завершает наше доказательство.

Важно отметить, что в данном доказательстве мы использовали факт, что сумма чётного и чётного числа является чётным числом, а сумма нечётного и нечётного числа также является чётным числом. Это свойство следует из арифметических правил, и оно допускает обобщение на более общий случай.