Question

Докажи или опровергни следующие утверждения на множестве натуральных чисел:а) Если разность двух чисел чётна, то их сумма чётна.б) Если разность двух чисел нечётна, то их сумма нечётна.в) Если сумма двух чисел чётна, то они оба чётны.г) Если сумма двух чисел чётна, то они оба нечётны.д) Если сумма двух чисел чётна, то хотя бы одно из них чётно.е) Если сумма двух чисел чётна, то хотя бы одно из них нечётно.​

Answer 1

Ответ:

а) да

б) да

в) нет

г) да

д) да, может быть

е) да, может быть

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности и определим, верно ли оно или нет на множестве натуральных чисел.

а) Если разность двух чисел чётна, то их сумма чётна. Опровергнем это утверждение. Пусть у нас есть два числа: 5 и 3. Их разность равна 2, что чётно, но сумма равна 8, что не чётно.

б) Если разность двух чисел нечётна, то их сумма нечётна. Верно. Предположим, что разность двух чисел нечётна, т.е. она имеет вид $2n + 1$, где $n$ - целое число. Тогда первое число можно представить как $x = y + (2n + 1)$, где $y$ - второе число. Сумма этих чисел равна $x + y = y + y + (2n + 1) = 2y + (2n + 1) = 2(y + n) + 1$, что также нечётно.

в) Если сумма двух чисел чётна, то они оба чётны. Верно. Предположим обратное, что одно из чисел (пусть это будет $x$) нечётно. Тогда другое число можно представить как $y = (x + 1)$, что также будет нечётным. Сумма этих чисел будет чётной: $x + y = x + (x + 1) = 2x + 1$, что противоречит начальному условию о чётной сумме.

г) Если сумма двух чисел чётна, то они оба нечётны. Опровергнем это утверждение. Пусть у нас есть два чётных числа: 4 и 2. Их сумма равна 6, что чётно, но оба числа чётны.

д) Если сумма двух чисел чётна, то хотя бы одно из них чётно. Верно. Предположим обратное, что оба числа нечётны. Тогда их сумма будет нечётной, что противоречит условию о чётной сумме.

е) Если сумма двух чисел чётна, то хотя бы одно из них нечётно. Опровергнем это утверждение. Пусть у нас есть два чётных числа: 6 и 2. Их сумма равна 8, что чётно, но оба числа чётны.

Итак, на множестве натуральных чисел: а) Опровергнуто. б) Верно. в) Верно. г) Опровергнуто. д) Верно. е) Опровергнуто.