Question

Задачи на четность и нечетность Задача 1. В магазин "Все для собак и кошек" привезли новые игрушки. Могут ли десять игрушек ценой в 3, 5 или 7 рублей стоить в сумме 53 рубля? Задача 2. Хозяйка купила общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровала все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Щенок Антошка выгрыз из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990? Задача 3. У Антоши было 5 плиток шоколада . Может ли Антоша, поделив каждую плитку на 9, 15 или 25 кусочков, получить всего 100 кусков шоколада? Задача 4. На плоскости расположено 9 шестеренок, соединенных по цепочке (первая со второй, вторая с третьей ... 9-я с первой). Могут ли они вращаться одновременно? Задача 5. Четна или нечетна сумма всех натуральных чисел от 1 до 17? Задача 6. В пятиэтажном доме с четырьмя подъездами подсчитали число жителей на каждом этаже и, кроме того, в каждом подъезде. Могут ли все полученные 9 чисел быть нечетными? Задача 7. Четно или нечетно произведение (7а + b - 2с + 1)(3а – 5b + 4с + 10), где числа a, b, с — целые? Задача 8. Щенок Антошка нацарапал на доске: 1*2*3*4*5*6*7*8*9 = 33, причем вместо каждой звездочки он поставил либо плюс, либо минус. Филя переправил несколько знаков на противоположные и в результате вместо числа 33 получил число 32. Верно ли, что по меньшей мере один из щенков ошибся при подсчете? Пожалуйста можно решение для каждой из этих задач.

Answer 1

Сумма любого числа четных слагаемых четная.

Сумма четного числа нечетных слагаемых четная.

Сумма нечетного числа нечетных слагаемых нечетная.

Поэтому:

Ответ на 1-3 - НЕТ.

В 1 четное число нечетных слагаемых не может дать нечетную сумму 53.

В 2 нечетное число нечетных номеров страниц и четное число четных номеров страниц не может дать четную сумму 1990.

В 3 нечетное число кусочков шоколада в каждой из 3 плиток не может дать четную сумму 100.

В 4 шестеренки с нечетными номерами вращаются в одном направлении. Да.

В 5 она просто равна 153.

В 6 нет, сложим числа по этажам и сложим числа по подъездам и увидим, что число жителей одновременно чет и нечет.

В 8 щенки должны получить результаты одинаковой четности.

Answer 2

Задача 1. Воспользуемся теоремой об остатках. Сумма цен на 10 игрушек может быть представлена в виде 3x + 5y + 7z, где x, y и z — количество игрушек с ценами 3, 5 и 7 рублей соответственно. Так как 53 = 7 × 7 + 3, то мы можем взять 7 игрушек по 7 рублей и 1 игрушку по 3 рубля, чтобы получить итоговую сумму. Остальные 2 игрушки не могут быть куплены за сумму 3, 5 или 7 рублей, так как все числа 3, 5 и 7 не делят 2, поэтому их сумма не может дать четное число. Ответ: нет, десять игрушек ценой в 3, 5 или 7 рублей не могут стоить в сумме 53 рубля.

Задача 2. Если щенок выгрыз 25 листов из тетради, то в ней осталось 96 - 25 = 71 лист. Следовательно, всего было 71 × 2 = 142 страницы. 50 чисел, записанных на выгрызенных листах, будут иметь следующую четность: 25 четных чисел и 25 нечетных. Сумма 25 четных чисел и 25 нечетных чисел также будет иметь нечетную четность. Но 1990 - четное число, поэтому такая сумма не может быть получена. Ответ: нет, у щенка не могло получиться 1990.

Задача 3. Пусть x, y и z — количество кусочков шоколада, полученных из первой, второй и т.д. плиток соответственно. Тогда мы можем записать систему уравнений: 9x + 15y + 25z = 100 x, y, z — натуральные числа. Домножив обе части уравнения на 4, мы получим: 36x + 60y + 100z = 400 3x + 5y + 10z = 40 Из этого уравнения следует, что сумма 3x + 5y + 10z является кратной 5 и не может быть равна 40, которое не кратно 5. Значит, не существует такого способа разделить 5 плиток шоколада на кусочки размером 9, 15 или 25, чтобы получить всего 100 кусков. Ответ: нет, нельзя получить всего 100 кусков шоколада.

Задача 4. Поскольку перв