Question

Бабушка испекла 10 пирожков с творогом и хочет раздать их все своим четверым внукам. Сколькими способами она сможет это сделать, если требуется, чтобы каждому внуку достался хотя бы один пирожок?

Answer 1

здесь сочетания с повторениями, то есть порядок не важен, а "номера внуков" могут повторяться, но не обязаны быть обязательно все

поэтому чтобы все внуки встретились хотя бы по разу, мы раздаем каждому по одному пирожку, а для оставшихся 6 пирожков будем считать способы

сочетание с повторением из n по k это обычное сочетание из (n+k-1) по k

сочетание с повторением из 4 по 6 = сочетание из 9 по 6 = сочетание из 9 по 3 = (9*8*7)/(1*2*3)=84 способа

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать метод комбинаторики. Чтобы каждому из четырех внуков достался хотя бы один пирожок, мы можем предварительно раздать по одному пирожку каждому из внуков. После этого у нас останется распределить оставшиеся 6 пирожков.

Для распределения 6 пирожков между 4 внуками, мы можем использовать комбинации с повторениями (stars and bars method).

Представим каждый пирожок как звездочку "*" и добавим 3 палочки "|" между ними. Например:

"|*||*"

В данном случае первый внук получил 2 пирожка, второй - 1 пирожок, третий - 2 пирожка, четвертый - 1 пирожок.

Таким образом, у нас есть 6 звездочек и 3 палочки для разделения. Всего это 9 символов, и мы должны выбрать, в каких из них будут звездочки (пирожки). Это можно сделать сочетаниями с повторениями:

C(n + r - 1, r),

где n - количество объектов для выбора (звездочек), r - количество групп для разделения (палочек), C - символ комбинаторного числа.

В нашем случае, n = 6 (пирожков) и r = 4 (внуки), поэтому количество способов будет:

C(6 + 4 - 1, 4) = C(9, 4) = 126 способов.

Таким образом, бабушка сможет раздать пирожки своим четырём внукам 126 способами.