Question

Найдите наибольшее значение функции y=16-8x+ln(4x)+ln2 на отрезке [1/9; 2/15]

Answer 1

Поскольку значения функции на концах интервала и в критических точках не очень удобны для сравнения, задачу проще решать через поиск экстремума и определения характера монотонности на указанном интервале.

Ловите решение. Удачи вам!

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y на заданном отрезке [1/9, 2/15], нужно найти критические точки функции внутри этого интервала, а также значения функции на концах интервала, затем сравнить их, чтобы найти максимальное значение.

1. Найдем критические точки функции y=16-8x+ln(4x)+ln2: Критические точки соответствуют значениям x, где производная функции равна нулю.

y = 16 - 8x + ln(4x) + ln2

Посчитаем производную функции y по x:

y' = -8 + 1/(4x)

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

-8 + 1/(4x) = 0

1/(4x) = 8

4x = 1/8

x = 1/(4*8) = 1/32

2. Найдем значения функции y на концах интервала [1/9, 2/15]: y(1/9) = 16 - 8*(1/9) + ln(4*(1/9)) + ln2 y(1/9) = 16 - 8/9 + ln(4/9) + ln2

y(2/15) = 16 - 8*(2/15) + ln(4*(2/15)) + ln2 y(2/15) = 16 - 16/15 + ln(8/15) + ln2

3. Посчитаем значение функции в критической точке:

y(1/32) = 16 - 8*(1/32) + ln(4*(1/32)) + ln2 y(1/32) = 16 - 1/4 + ln(1/8) + ln2

Теперь сравним значения функции в критической точке и на концах интервала:

y(1/9) ≈ 14.117 y(2/15) ≈ 14.117 y(1/32) ≈ 15.693

Наибольшее значение функции на интервале [1/9, 2/15] равно приблизительно 15.693 и достигается при x = 1/32.