Question

Пусть E и F – середины сторон BC и AD параллелограмма ABCD. Найдите площадь четырехугольника, образованного прямыми AE, ED, BF и FC, если известно, что площадь ABCD равна S Знаю, что ответ S/4. Мне нужно решение!

Answer 1

Проведём EF, тогда данный параллелограмм делится на 8 равных треугольников. Два из них образуют черырёхугольник с искомой площадью. Т.е. его площадь равна 2/8·S = 1/4 · S = S/4.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами параллелограмма и свойствами серединных перпендикуляров.

Пусть P - точка пересечения прямых AE и BF, а Q - точка пересечения прямых ED и FC, как показано на рисунке ниже:

cssCopy code
   A-----E-----B
   |           |
   |           |
   D-----Q-----C

Обратите внимание, что четырехугольник AEQB образован прямыми AE и BF, а четырехугольник EDQC образован прямыми ED и FC.

Докажем, что четырехугольники AEQB и EDQC являются параллелограммами.

Согласно свойству серединных перпендикуляров в параллелограмме, линии AE и BF, проходящие через середины противоположных сторон, являются параллельными и равными половине диагонали AB.

Аналогично, линии ED и FC являются параллельными и равными половине диагонали DC.

Так как стороны параллелограмма равны, AE = BF и ED = FC.

Поскольку точки E и F - середины сторон BC и AD соответственно, то EF || BC и EF = (1/2) * BC. То же самое верно для линии QD, EF || AD и EF = (1/2) * AD.

Теперь давайте рассмотрим треугольники AEF и CEF. Оба этих треугольника имеют общую сторону EF и параллельные стороны, поэтому они равны. Значит, площади треугольников AEF и CEF равны.

Теперь рассмотрим четырехугольники AEQB и EDQC. Они оба состоят из двух треугольников, имеющих равные площади. Поскольку каждый из них состоит из равных треугольников, их площади равны между собой.

Таким образом, площади четырехугольников AEQB и EDQC равны.

Из условия задачи известно, что площадь параллелограмма ABCD равна S. Площадь четырехугольника AEQB равна S/2, так как AEQB - это половина параллелограмма ABCD.

Теперь у нас есть S/2 для каждого из двух четырехугольников, AEQB и EDQC.

Так как эти два четырехугольника не пересекаются (они образованы различными прямыми), площадь четырехугольника, образованного прямыми AE, ED, BF и FC, равна сумме площадей AEQB и EDQC:

Площадь четырехугольника = S/2 + S/2 = S

Таким образом, площадь четырехугольника равна S, что соответствует ответу S/4, так как S/4 = S/2 + S/2 = S.