Question

Даны два вектора a=3i+2j и b=2i-j. Найти: а) вектор aₓ; б) a·i в) аₓ  г) вектор a·b д) (a+b)·(a-2b) всё вектора

Answer 1

Думаю, что так (см. приложение)

Answer 2

Для решения задачи, давайте сначала определимся с определениями и обозначениями:

1. Вектор a = 3i + 2j состоит из двух компонент: aₓ = 3 и aᵧ = 2.
2. Вектор b = 2i - j состоит из двух компонент: bₓ = 2 и bᵧ = -1.

Теперь, давайте решим каждый пункт:

а) Вектор aₓ:

Вектор аₓ - это первая компонента вектора a. В данном случае, аₓ = 3.

б) Скалярное произведение a·i:

Скалярное произведение вектора a на единичный вектор i равно проекции вектора a на ось x. Вектор i является единичным вектором вдоль оси x (i = 1i + 0j). Скалярное произведение a·i вычисляется как:

a·i = aₓ * iₓ + aᵧ * iᵧ

где iₓ = 1 (компонента i по x) и iᵧ = 0 (компонента i по y).

a·i = 3 * 1 + 2 * 0 a·i = 3

в) Вектор аₓ:

Вектор аₓ - это вектор, который получается, если взять первую компоненту вектора a и домножить её на единичный вектор i. Вектор i = 1i + 0j.

аₓ = aₓ * i = 3 * (1i + 0j) = 3i + 0j = 3i

г) Вектор a·b:

Для вычисления векторного произведения a·b нужно использовать правило перехода через определитель матрицы:

a·b = | i j | | aₓ aᵧ | | bₓ bᵧ |

где |...| обозначает определитель матрицы. Векторное произведение a·b представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости, образованной a и b, и его длина равна площади параллелограмма, образованного a и b.

a·b = (aₓ * bᵧ - aᵧ * bₓ) * k

где k - единичный вектор, перпендикулярный плоскости a и b. Его можно получить вычислив нормализованное значение (единичный вектор) от произведения векторов a и b:

k = (a x b) / |a x b|

|a x b| - длина вектора, полученного путем векторного произведения a и b:

|a x b| = √(aₓ * bᵧ - aᵧ * bₓ)² + (aᵧ * bₓ - aₓ * bᵧ)²

Теперь вычислим:

|a x b| = √(3 * (-1) - 2 * 2)² + (2 * 2 - 3 * (-1))² |a x b| = √(-7)² + (4 + 3)² |a x b| = √49 + 49 |a x b| = √98

Теперь найдем единичный вектор k:

k = (a x b) / |a x b| k = (3 * (-1) - 2 * 2, 2 * 2 - 3 * (-1)) / √98 k = (-7 / √98, 7 / √98)

Теперь вычислим вектор a·b:

a·b = (aₓ * bᵧ - aᵧ * bₓ) * k a·b = (3 * (-1) - 2 * 2) * (-7 / √98, 7 / √98) a·b = (-3 - 4) * (-7 / √98, 7 / √98) a·b = (-7) * (-7 / √98, 7 / √98) a·b = (49 / √98, -49 / √98)

Таким образом, вектор a·b равен (49 / √98, -49 / √98).

д) (a + b) · (a - 2b):

Для решения этого пункта, давайте сначала найдем вектор (a + b) и вектор (a - 2b):

a + b = (3i + 2j) + (2i - j) = 3i + 2j + 2i - j = 5i + j a - 2b = (3i + 2j) - 2(2i - j) = 3i + 2j - 4i + 2j = -i + 4j

Теперь вычислим скалярное произведение:

(a + b) · (a - 2b) = (5i + j) · (-i + 4j)

(a + b) · (a - 2b) = 5 * (-1) + 1 * 4

(a + b) · (a - 2b) = -5 + 4

(a + b) · (a - 2b) = -1

Итак, (a + b) · (a - 2b) равно -1.

Подведем итоги:

а) Вектор aₓ: aₓ = 3 б) Скалярное произведение a·i: a·i = 3 в) Вектор аₓ: аₓ = 3i г) Вектор a·b: a·b = (49 / √98, -49 / √98) д) (a + b) · (a