Question

Последняя справа цифра шестизначного числа равна 1. Если эту цифру переставить на первое место, то получится число в 3 раза меньше первоначального. Найдите сумму цифр первоначального числа.

Answer 1

abcde1=3*1abcde, где a,b,c,d,e - натуральные числа от 0 до 9

100000*a+10000*b+1000*c+100*d+10*e+1=3*(100000+10000*a+1000*b+100*c+10*a+e), где a,b,c,d,e - натуральные числа от 0 до 9

Пусть e+10d+100c+1000b+10000a+100000=x, тогда

3*x=10x+1-1000000

7x=999999

x=142857

т.е. e+10d+100c+1000b+10000a+100000=142857

e+10d+100c+1000b+10000a=42857, где a,b,c,d,e - натуральные числа от 0 до 9

Значит e=7, d=5, c=8, b=2, a=4

Сумма цифр первоначального числа 7+5+8+2+4+1=27

Answer 2

Пусть исходное шестизначное число равно ABCDEF, где каждая буква обозначает одну цифру (A - самая левая цифра, F - самая правая цифра).

Из условия задачи известно, что F = 1. Также известно, что если цифру F поставить на первое место (вместо A), получится число с тремя разрядами DEF. Такое число в три раза меньше первоначального ABCDEF.

Мы можем записать это в виде уравнения:

DEF = 3 * 100000 + ABCDE

Теперь разложим ABCDEF по разрядам:

ABCDEF = 100000 * A + 10000 * B + 1000 * C + 100 * D + 10 * E + F

Подставим значение F = 1:

ABCDEF = 100000 * A + 10000 * B + 1000 * C + 100 * D + 10 * E + 1

Теперь у нас есть два уравнения:

1. DEF = 3 * 100000 + ABCDE
2. ABCDEF = 100000 * A + 10000 * B + 1000 * C + 100 * D + 10 * E + 1

Подставим уравнение 2) в уравнение 1):

DEF = 3 * 100000 + (100000 * A + 10000 * B + 1000 * C + 100 * D + 10 * E + 1)

Упростим:

DEF = 300000 + 100000 * A + 10000 * B + 1000 * C + 100 * D + 10 * E + 1

Теперь заметим, что числа DEF и ABCDEF имеют одинаковые цифры, только ABCDEF начинается с A и завершается на F. Исходя из этого, мы можем записать:

100000 * A + 10000 * B + 1000 * C + 100 * D + 10 * E + 1 = DEF

Теперь заметим, что DEF = 1 и:

100000 * A + 10000 * B + 1000 * C + 100 * D + 10 * E + 1 = 1

Упростим:

100000 * A + 10000 * B + 1000 * C + 100 * D + 10 * E = 0

Теперь у нас есть уравнение, в котором присутствуют только переменные A, B, C, D и E. Чтобы найти сумму этих переменных, сложим все коэффициенты перед ними:

100000 * A + 10000 * B + 1000 * C + 100 * D + 10 * E = A * 100000 + B * 10000 + C * 1000 + D * 100 + E * 10 = 100000 * (A + B + C + D + E)

Таким образом, сумма всех переменных (A + B + C + D + E) равна:

(A + B + C + D + E) = (100000 * A + 10000 * B + 1000 * C + 100 * D + 10 * E) / 100000 = 0 / 100000 = 0

Ответ: Сумма цифр первоначального числа равна 0.