Question

Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1, при делении на 3 - в остатке 2, при делении на 4 – в остатке 3, при делении на 5 – в остатке 4.

Answer 1

5*11+4=59

4*14+3=59

3*19+2=59

2*29+1=59

Ответ: 59

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое условие по отдельности:

1. "При делении на 2 даёт в остатке 1": Это условие можно записать в виде уравнения: x ≡ 1 (mod 2), где x - искомое число, ≡ обозначает "конгруэнтно", а (mod 2) означает "по модулю 2". То есть, x имеет вид 2n + 1, где n - некоторое натуральное число.

2. "При делении на 3 даёт в остатке 2": Аналогично, это условие можно записать как x ≡ 2 (mod 3), что означает, что x имеет вид 3m + 2, где m - некоторое натуральное число.

3. "При делении на 4 даёт в остатке 3": Также, x ≡ 3 (mod 4), и x имеет вид 4k + 3, где k - некоторое натуральное число.

4. "При делении на 5 даёт в остатке 4": И снова, x ≡ 4 (mod 5), что означает, что x имеет вид 5p + 4, где p - некоторое натуральное число.

Теперь объединим все эти условия в одно уравнение:

x = 2n + 1 x = 3m + 2 x = 4k + 3 x = 5p + 4

Нам нужно найти такое наименьшее натуральное число x, которое удовлетворяет всем этим условиям одновременно.

Для нахождения такого числа, можно использовать метод китайской теоремы об остатках. Сначала найдем x по модулю (234*5), то есть по модулю 120:

x ≡ 1 (mod 2) x ≡ 2 (mod 3) x ≡ 3 (mod 4) x ≡ 4 (mod 5)

При помощи метода китайской теоремы об остатках, находим x ≡ 59 (mod 120). Это означает, что x принимает вид 120t + 59, где t - некоторое натуральное число.

Теперь, чтобы найти наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет всем исходным условиям, нужно найти минимальное t.

Наименьшее натуральное t, при котором x положительно, равно 1 (t = 1). Подставим t = 1 в выражение для x:

x = 120 * 1 + 59 = 179

Ответ: Наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1, при делении на 3 - в остатке 2, при делении на 4 – в остатке 3, при делении на 5 – в остатке 4, равно 179.