Question

Из точки P к окружности с центром в точке О проведены касательные PA и PB(A и B точки касания). угол APB=90°. расстояние между точками касания АВ равно √5. Чему равно растояние ОР?

Answer 1

AOBP - квадрат, т. к. сумма углов любого выпуклого четырёхугольника = 360°. Радиус, проведённый к касательной, образует прямой угол => ∠A=90°, ∠B=90°, ∠P=90° ⇒ ∠O=90°

В квадрате диагонали равны ⇒ AB=AOBP - квадрат, т. к. сумма углов любого выпуклого четырёхугольника = 360°. Радиус, проведённый к касательной, образует прямой угол => ∠A=90°, ∠B=90°, ∠P=90° ⇒ ∠O=90°

В квадрате диагонали равны ⇒ AB=OP=√5.

Answer 2

Давайте обозначим точку пересечения касательных PA и PB за точку R. Таким образом, у нас есть треугольник APR и треугольник BPR.

Поскольку угол APB равен 90°, треугольник APR и BPR являются прямоугольными треугольниками. Пусть |AR| = |RB| = x (где |AR| обозначает длину отрезка AR), так как это расстояние между точками касания АВ.

Мы знаем, что расстояние между точками касания АВ равно √5, поэтому:

|x + x| = √5 |2x| = √5

Теперь найдем длину отрезка ОР. Обозначим его за d (|OR| = d).

Так как точка О является центром окружности, то отрезок OR будет перпендикулярен к касательной PA в точке A, и отрезок OR будет перпендикулярен к касательной PB в точке B. Это означает, что треугольник OAR и треугольник OBR также являются прямоугольными треугольниками.

Из прямоугольных треугольников OAR и OBR мы можем записать следующие равенства:

(1) |OA|^2 + |AR|^2 = |OR|^2 (2) |OB|^2 + |BR|^2 = |OR|^2

Заметим, что |AR| = |RB| = x (мы так обозначили ранее) и |OA| = |OB|, так как точка O является центром окружности.

(1) |OA|^2 + x^2 = |OR|^2 (2) |OA|^2 + x^2 = |OR|^2

Так как |OA|^2 = |OB|^2 (радиусы окружности равны), то мы можем записать:

|OB|^2 + x^2 = |OR|^2

Теперь давайте заменим |OR|^2 в уравнении (2) с помощью равенства из уравнения (1):

|OB|^2 + x^2 = |OA|^2 + x^2

Теперь вычтем x^2 с обеих сторон:

|OB|^2 = |OA|^2

Таким образом, получаем, что |OB| = |OA|. Это означает, что точки A и B находятся на равном удалении от центра окружности О.

Теперь возвращаемся к уравнению |2x| = √5. Так как x является половиной расстояния между точками A и B, оно будет равно половине длины диаметра окружности. Поэтому x = √(5/4).

Теперь, чтобы найти длину отрезка ОР (d), нужно умножить x на 2 (так как |OR| = 2 * |AR|):

d = 2 * √(5/4) = √5

Таким образом, расстояние между точкой P и центром окружности О равно √5.