Question

Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 30, а сумма следующих четырех членов равна 480. Сумма первых двенадцати членов равна:

Answer 1

B+bq+bq^2+bq^3=30
q^4(b+bq+bq^2+bq^3)=480
q^4=480/30=16
q=2
b+2b+4b+8b=15b=30
b=2
S12 = b(q^12 -1)/(q-1) = 2(4096-1)/1 = 8190

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как "а" и знаменатель прогрессии как "q" (предполагаем, что q ≠ 0). Таким образом, первые четыре члена прогрессии будут: а, аq, аq^2, аq^3.

Мы знаем, что сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 30, поэтому у нас есть следующее уравнение:

а + аq + аq^2 + аq^3 = 30 ...........(1)

Также нам дано, что сумма следующих четырех членов равна 480. То есть, сумма членов с пятого по восьмой будет: аq^4 + аq^5 + аq^6 + аq^7.

Мы можем выразить эту сумму через q и переписать уравнение:

аq^4 + аq^5 + аq^6 + аq^7 = 480

Теперь нам нужно найти сумму первых двенадцати членов геометрической прогрессии. Это можно сделать, используя формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:

Сумма первых n членов = а * (q^n - 1) / (q - 1)

Теперь нам нужно найти значение суммы первых двенадцати членов (n = 12). Для этого нам понадобятся два уравнения для нашего решения:

1. а + аq + аq^2 + аq^3 = 30
2. аq^4 + аq^5 + аq^6 + аq^7 = 480

Найдем значения а и q, решив эти два уравнения.

Для этого вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

(аq^4 + аq^5 + аq^6 + аq^7) - (а + аq + аq^2 + аq^3) = 480 - 30

Упростим:

аq^4 + аq^5 + аq^6 + аq^7 - а - аq - аq^2 - аq^3 = 450

Теперь вынесем общий множитель "а" за скобки:

а(q^4 + q^5 + q^6 + q^7 - 1 - q - q^2 - q^3) = 450

Заметим, что внутри скобок у нас стоит геометрическая прогрессия с начальным членом "q" и количеством членов "4" (так как у нас 4 члена, начиная с q^4).

Теперь используем формулу суммы первых 4 членов геометрической прогрессии:

Сумма первых 4 членов = q^4 * (q^4 - 1) / (q - 1)

Теперь подставим это обратно в наше уравнение:

а * (q^4 * (q^4 - 1) / (q - 1)) = 450

Теперь мы можем решить это уравнение относительно "а":

а = 450 * (q - 1) / (q^4 * (q^4 - 1))

Теперь, когда у нас есть значение "а", мы можем использовать уравнение (1) для нахождения значения "q":

а + аq + аq^2 + аq^3 = 30

450 * (q - 1) / (q^4 * (q^4 - 1)) + 450 * q + 450 * q^2 + 450 * q^3 = 30

Теперь, найдя значения "а" и "q", мы можем найти сумму первых двенадцати членов геометрической прогрессии:

Сумма первых 12 членов = а * (q^12 - 1) / (q - 1)

Подставим значения "а" и "q" и вычислим:

Сумма первых 12 членов = 450 * ((q^12 - 1) / (q - 1))

Теперь у нас есть окончательный ответ на задачу.