Question

X^2+2ax+1>a|x+a| Помогите пожалуста с решением!

Answer 1

1) Если x+a < 0, то есть x < -a, то |x+a| = -x-a
x^2 + 2ax + 1 > a(-x-a)
x^2 + 2ax + 1 + ax + a^2 > 0
x^2 + 3ax + (a^2+1) > 0
D = (3a)^2 - 4(a^2+1) = 5a^2 - 4
1) а) Если D < 0, то есть a^2 < 4/5, то a € (-2√5/5; 2√5/5), тогда неравенство верно для всех x < -a.
1) б) Если a = -2√5/5, то x = -3a/2 = 3√5/5 > -a, не подходит.
1) в) Если a = 2√5/5, то x = -3a/2 = -3√5/5 < -a, подходит.
1) г) Если a^2 > 4/5, то есть a € (-oo; -2√5/5) U (2√5/5; +oo), то:
x1 = (-3a - √(5a^2-4) ) / 2
x2 = (-3a + √(5a^2-4) ) / 2
Тогда x € (-oo; x1) U (x2; +oo).
Но из них подходят только те, для которых x < -a

2) Если x + a = 0, то есть x = - a, то |x+a| = 0
x^2 + 2ax + 1 > 0
D = 4a^2 - 4 = 4(a^2 - 1)
2) а) Если D < 0, то есть a^2-1 < 0, то a € (-1; 1), тогда неравенство верно для x = -a.
2) б) Если a = -1 или a = 1, то неравенство неверно для x = 1 или x = -1.
2) в) Если a^2-1 >0, то есть a € (-oo; -1) U (1; +oo), то:
x1 = (-2a - 2√(a^2-1) ) / 2 = -a - √(a^2-1)
x2 = -a + √(a^2-1)
Тогда x € (-oo; x1) U (x2; +oo).
Но из них подходят только те, для которвх x = -a.

3) Если x+a > 0, то есть x > -a, то |x+a| = x+a
x^2 + 2ax + 1 > a(x+a)
x^2 + 2ax + 1 - ax - a^2 > 0
x^2 + ax + (1-a^2) > 0
D = a^2 - 4(1-a^2) = 5a^2 - 4
Дискриминант получился такой же.
3) а) Если D < 0, то есть a^2 < 4/5, то a € (-2√5/5; 2√5/5), тогда неравенство верно при любом x > -a
3) б) Если a = -2√5/5, то x = -a/2 = √5/5 < -a, не подходит.
3) в) Если a = 2√5/5, то x = -a/2 = -√5/5 > -a, подходит.
3) г) Если a^2 > 4/5, то есть a € (-oo; -2√5/5) U (2√5/5; +oo), то:
x1 = (-a - √(5a^2-4) ) / 2
x2 = (-a + √(5a^2-4) ) / 2
Тогда x € (-oo; x1) U (x1; +oo).
Но из них подходят только те, для которых x > -a.

Answer 2

Давайте разберемся с неравенством X^2 + 2ax + 1 > a|x + a|, где a - некоторая константа.

Первым шагом разделим решение на два случая в зависимости от значения выражения |x + a|.

Случай 1: x + a ≥ 0 В этом случае |x + a| = x + a, исходное неравенство становится: X^2 + 2ax + 1 > a(x + a)

Теперь решим это квадратное неравенство. Приведем все к одной стороне: X^2 + 2ax + 1 - a(x + a) > 0 X^2 + 2ax + 1 - ax - a^2 > 0 X^2 + x(2a - a) + (1 - a^2) > 0 X^2 + ax + (1 - a^2) > 0

Теперь давайте рассмотрим дискриминант этого квадратного неравенства: D = a^2 - 4(1 - a^2) D = a^2 - 4 + 4a^2 D = 5a^2 - 4

Так как нам нужно, чтобы дискриминант был положительным (чтобы у квадратного уравнения было два действительных корня), выполним условие: 5a^2 - 4 > 0 5a^2 > 4 a^2 > 4/5

Теперь разберемся со знаком коэффициента при x в квадратном уравнении (а). Так как a^2 > 4/5 и а > 0, значит a > √(4/5), а также a < -√(4/5).

Случай 2: x + a < 0 В этом случае |x + a| = -(x + a), исходное неравенство становится: X^2 + 2ax + 1 > -a(x + a)

Повторим аналогичные шаги: X^2 + 2ax + 1 + a(x + a) > 0 X^2 + 2ax + ax + a^2 + 1 > 0 X^2 + 3ax + (a^2 + 1) > 0

Дискриминант этого квадратного неравенства: D = (3a)^2 - 4(a^2 + 1) D = 9a^2 - 4a^2 - 4 D = 5a^2 - 4

Для этого случая нам также нужно, чтобы дискриминант был положительным: 5a^2 - 4 > 0 a^2 > 4/5

Так как мы уже рассмотрели, что a^2 > 4/5, условие выполнено автоматически для этого случая.

Таким образом, решение неравенства X^2 + 2ax + 1 > a|x + a| заключается в двух неравенствах:

1. a > √(4/5) и a < -√(4/5)
2. a^2 > 4/5

Объединяя эти условия, получим окончательный ответ: a^2 > 4/5.