Question

Разложите на множитель очиститель и знаменатель дроби 5x^2-x-4/x^3-1 и сократите её

Answer 1

Разложение на множители числителя дроби

$\tt 5x^2-x-4=5x^2-5x+4x-4=5x(x-1)+4(x-1)=(x-1)(5x+4)$

Теперь в знаменателе нужно воспользоваться формулой разности кубов.

$\tt x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$

Осталось сократить дробь.

$\tt \displaystyle \frac{5x^2-x-4}{x^3-1}=\frac{(x-1)(5x+4)}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{5x+4}{x^2+x+1}$

Answer 2

Для разложения на множители числителя и знаменателя дроби, нам нужно сначала факторизовать соответствующие выражения.

Начнем с числителя 5x^2 - x - 4. Мы хотим найти два множителя, которые перемножаются, чтобы дать это выражение. Для этого можем воспользоваться методом разложения на множители или решить квадратное уравнение, так как это квадратный трехчлен:

5x^2 - x - 4 = (5x + 4)(x - 1)

Теперь разложим знаменатель x^3 - 1. Это разность куба, которую мы можем факторизовать с помощью формулы a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2):

x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)

Теперь можем записать исходную дробь в виде:

(5x^2 - x - 4) / (x^3 - 1) = (5x + 4)(x - 1) / (x - 1)(x^2 + x + 1)

Заметим, что (x - 1) в числителе и знаменателе сокращаются, поэтому мы можем сократить их:

(5x + 4) / (x^2 + x + 1)

Таким образом, итоговая дробь после сокращения имеет вид:

(5x + 4) / (x^2 + x + 1)