Question

Докажите, что при каждом натуральном n сумма 1/(1+n)+1/(2+n)+1/(3+n)+...+1/(3n-1)+1/3n меньше 2 и больше 2/3. Срочно пожалуйстааааааааааааа

Answer 1

.........................................................................................

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, воспользуемся методом математической индукции. Для начала, проверим базовый случай, когда n = 1:

При n = 1, имеем сумму: 1/(1+1) + 1/(2+1) + 1/(3+1) = 1/2 + 1/3 + 1/4 ≈ 0.9167

Это значение действительно меньше 2 и больше 2/3.

Теперь допустим, что утверждение верно для некоторого n = k, то есть:

1/(1+k) + 1/(2+k) + 1/(3+k) + ... + 1/(3k-1) + 1/3k < 2 и 1/(1+k) + 1/(2+k) + 1/(3+k) + ... + 1/(3k-1) + 1/3k > 2/3

Теперь докажем, что утверждение также верно для n = k + 1:

1/(1+(k+1)) + 1/(2+(k+1)) + 1/(3+(k+1)) + ... + 1/(3(k+1)-1) + 1/3(k+1)

Давайте разложим первые k+1 слагаемых суммы:

1/(1+(k+1)) = 1/(k+2) 1/(2+(k+1)) = 1/(k+3) ... 1/(k+(k+1)) = 1/(2k+1) 1/(k+1+(k+1)) = 1/(2k+2) = 1/(2(k+1))

Теперь добавим эти слагаемые в нашу сумму:

1/(1+(k+1)) + 1/(2+(k+1)) + 1/(3+(k+1)) + ... + 1/(3(k+1)-1) + 1/3(k+1) = 1/(k+2) + 1/(k+3) + 1/(k+4) + ... + 1/(2k+1) + 1/(2(k+1))

Для того чтобы упростить эту сумму, объединим последние два слагаемых:

1/(2k+1) + 1/(2(k+1)) = (2(k+1) + 2k) / (2k+1)(2(k+1)) = (4k + 2) / (4k^2 + 6k + 2)

Теперь добавим это значение к сумме:

1/(1+(k+1)) + 1/(2+(k+1)) + 1/(3+(k+1)) + ... + 1/(3(k+1)-1) + 1/3(k+1) = 1/(k+2) + 1/(k+3) + 1/(k+4) + ... + 1/(2k+1) + 1/(2(k+1)) = (4k + 2) / (4k^2 + 6k + 2) + 1/(2(k+1))

Теперь давайте проанализируем значение этой суммы:

(4k + 2) / (4k^2 + 6k + 2) + 1/(2(k+1)) = (4k + 2 + 2(k+1)) / (4k^2 + 6k + 2) = (4k + 2 + 2k + 2) / (4k^2 + 6k + 2) = (6k + 4) / (4k^2 + 6k + 2) = 2(3k + 2) / 2(2k^2 + 3k + 1) = (3k + 2) / (2k^2 + 3k + 1)

Теперь нам нужно показать, что это значение меньше 2 и больше 2/3:

1. (3k + 2) / (2k^2 + 3k + 1) < 2: Для этого заметим, что числитель (3k + 2) меньше 2k^2 + 3k + 1, так как 2k^2 + 3k + 1 - (3k + 2) = 2k^2 + k - 1, а это положительное значение для всех натуральных k.

2. (3k + 2) / (2k^2 + 3k + 1) > 2/3: Для этого заметим, что числитель (3k + 2) больше 2k^2 + 3k + 1/3, так как 3k + 2 - (2k^2 + 3k + 1/3) = 2k^2 + 3k + 1/3, а это положительное значение для всех натуральных k.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для n = k, то оно также верно для n = k + 1. По принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных n.

Следовательно, для каждого натурального n сумма 1/(1+n) + 1/(2+n) + 1/(3+n) + ... + 1/(3n-1) + 1/3n меньше 2 и больше 2/3.