Question

Докажите. что при каждом натуральном числе n верно, что если число n^2 кратно 3, так и n кратно 3

Answer 1

Действуем от противного
пусть n не делится на 3,
тогда оно может быть представлено в виде
$n_1=3k+1 \\ или \\ n_2=3k+2,$
k€N

но тогда
$n_1^2=(3k+1)^2= \\ = 9k^2+6k+1= \\ = 3(3k^2+2k)+1$
не делится на 3

$n_2^2=(3k+2)^2= \\ = 9k^2+12k+4= \\ = 3(3k^2+4k+1)+1$
не делится на 3

пришли к противоречию,
поэтому n делится на 3
что и требовалось доказать

Answer 2

Давайте докажем утверждение методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай (n = 1) При n = 1 число n^2 равно 1^2 = 1, и оно не кратно 3. Также число 1 не кратно 3.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что утверждение верно для некоторого произвольного, но фиксированного натурального числа k. Это означает, что если k^2 кратно 3, то и k кратно 3.

Шаг 3: Доказательство для (k + 1) Теперь докажем утверждение для (k + 1). Пусть n = k + 1.

Тогда (k + 1)^2 = k^2 + 2k + 1.

Так как k^2 кратно 3 (по предположению индукции), то есть k^2 = 3m, где m - целое число.

Тогда (k + 1)^2 = 3m + 2k + 1.

Мы хотим доказать, что (k + 1)^2 кратно 3. Поэтому нам нужно доказать, что 3m + 2k + 1 кратно 3.

Мы знаем, что 3m кратно 3 (по определению кратности). Значит, нам нужно показать, что 2k + 1 кратно 3.

Теперь рассмотрим возможные значения k по модулю 3:

1. Если k = 3p (где p - целое число), тогда 2k + 1 = 2(3p) + 1 = 6p + 1. Это число не делится нацело на 3, так как остаток от деления на 3 равен 1.

2. Если k = 3p + 1, тогда 2k + 1 = 2(3p + 1) + 1 = 6p + 2 + 1 = 6p + 3 = 3(2p + 1). В этом случае 2k + 1 кратно 3.

3. Если k = 3p + 2, тогда 2k + 1 = 2(3p + 2) + 1 = 6p + 4 + 1 = 6p + 5. Это число также не делится нацело на 3, так как остаток от деления на 3 равен 2.

Итак, мы видим, что k + 1 кратно 3 в случае, если k кратно 3 или k + 1 кратно 3 в случае, если k не кратно 3.

Таким образом, мы доказали, что если число n^2 кратно 3, то и число n кратно 3. Утверждение верно для всех натуральных чисел n.