Question

В треугольнике АВС медиана СЕ перпендикулярна биссектрисе АD. Докажите, что АВ=2АС.

Answer 1

Сума катета прилеглого до гіпотенузи дорівнює її половині

Answer 2

Для доказательства утверждения АВ=2АС, давайте воспользуемся информацией о медианах и биссектрисах треугольника АВС.

Пусть точка F – точка пересечения медиан СЕ и АD, как показано на рисунке ниже:

cssCopy code
     A
    / \
   /   \
  /     \
 B-------C
    \   /
     \ /
      E
      |
      F

Известно, что медиана СЕ перпендикулярна к биссектрисе АD. Значит, угол СФЕ (угол между медианой и биссектрисой) равен 90 градусам.

Далее, рассмотрим треугольник СФЕ. У него медиана СЕ равна медиане ФВ (по теореме о медианах треугольника), следовательно, треугольник СФЕ равнобедренный, и СФ=ФЕ.

Теперь обратим внимание на треугольник АСФ. У него СФ=ФЕ и угол СФА является углом между медианой СЕ и биссектрисой АD, что делает их равными 90 градусам. Поскольку СФ=ФЕ, а угол СФА прямой, то треугольник АСФ — прямоугольный треугольник.

Теперь, обратимся к треугольнику АВС. Так как АСФ — прямоугольный треугольник, то у нас есть основание (сторона СА) и высота (медиана СЕ), опущенная на эту сторону. Мы знаем, что высота делит основание на две равные части. Поэтому АС=СВ.

Итак, мы получили, что АС=СВ. Но также мы знаем, что медиана СЕ делит сторону АВ пополам (это свойство медианы треугольника). Значит, АВ=2АС.

Таким образом, мы доказали, что в треугольнике АВС, где медиана СЕ перпендикулярна биссектрисе АD, выполняется равенство АВ=2АС.