Question

Есть промежуток [-π; 2π], и надо определить, принадлежат ли этому промежутку корни +-π/3 + 2πn. Как это делается? Как показать на рисунке? Ничего не понимаю.

Answer 1

........................................................

Answer 2

Для того чтобы определить, принадлежат ли корни $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ промежутку $[-\pi, 2\pi]$, нужно проанализировать значения этих корней при различных целых значениях $n$ и убедиться, что они попадают в указанный интервал.

Корни $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ представляют собой последовательность чисел, которые получаются путем добавления или вычитания кратного $2\pi$ к базовому корню $\pm \frac{\pi}{3}$. Таким образом, они будут иметь вид:

$\pm \frac{\pi}{3}, \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi, \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi, \pm \frac{\pi}{3} + 6\pi, \ldots$

Чтобы проверить, принадлежат ли эти значения интервалу $[-\pi, 2\pi]$, нужно определить, в какие значения $n$ они попадают в этом интервале.

Давайте рассмотрим значения при $n = 0$:

• $\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3} \approx 1.047$ (радианы)
• $-\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{3} \approx -1.047$ (радианы)

Теперь рассмотрим значения при $n = 1$:

• $\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi \approx 7.331$ (радианы)
• $-\frac{\pi}{3} + 2\pi \cdot 1 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi \approx 5.236$ (радианы)

По мере увеличения значения $n$, полученные значения будут увеличиваться на $2\pi$ каждый раз.

Мы видим, что базовый корень $\frac{\pi}{3}$ находится в промежутке $(0, \pi)$, а его отрицательный аналог $-\frac{\pi}{3}$ находится в промежутке $(-\pi, 0)$. При добавлении или вычитании кратного $2\pi$ мы просто "перемещаемся" по окружности и всегда остаемся в пределах этих интервалов.

Теперь давайте построим график, чтобы визуализировать это.

На рисунке ниже показана окружность с радиусом $\pi$ (красный круг), представляющая промежуток $[-\pi, \pi]$. Точка $A$ обозначает базовый корень $\frac{\pi}{3}$, а точка $B$ - его отрицательный аналог $-\frac{\pi}{3}$. Затем точки $C$ и $D$ обозначают значения $\frac{\pi}{3} + 2\pi$ и $-\frac{\pi}{3} + 2\pi$, соответственно. При добавлении или вычитании кратного $2\pi$ мы перемещаемся по окружности вокруг центра.

cssCopy code
           D         A         C
             \       |       /
               \     |     /
                 \   |   /
                   \ | /
        -π ________ B ________ π
                   / | \
                 /   |   \
               /     |     \
             /       |       \
           -C        B         A

Таким образом, все значения $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ лежат в промежутке $[-\pi, 2\pi]$.