Question

Найти площадь треугольника АВС, если АС = 1, угол А = 60 градусов, а косинус В = корень (27/28)

Answer 1

По теореме синусов:

$\frac{AC}{\sin{\angle B}}=\frac{BC}{\sin{\angle A}}=\frac{AB}{\sin{(\pi - (\angle A + \angle B))}}$

$\frac{AC}{\sin{\angle B}}=\frac{BC}{\sin{\angle A}}=\frac{AB}{\cos{\angle A + \angle B}}$

$\frac{AC}{\sin{\angle B}}=\frac{BC}{\sin{\angle A}}=\frac{AB}{\cos{\angle A}\cos{\angle B}-\sin{\angle A}\sin{\angle B}}$

Подставляем, считаем:

$\sin{\angle A}=\frac{\sqrt{3}}{2}; \ \ \ \sin{\angle B}=[tex]\cos{(\angle A+ \angle B)}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{27}{28}}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{28}}=\frac{\sqrt{\frac{3}{7}}}{2}$

Теперь подставляем это в теорему синусов:

$AB=\frac{AC}{\frac{1}{\sqrt{28}}}\cdot \frac{\sqrt{\frac{3}{7}}}{2}=\sqrt{28}\cdot \frac{\sqrt{\frac{3}{7}}}{2}=\sqrt{28/7 \cdot 3}:2=\sqrt{12}/2=2\sqrt{3}/2=\sqrt{3}$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot AC \cdot \sin{\angle A}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}$

Если я нигде не налажал в вычислениях

Answer 2

Для нахождения площади треугольника ABC, у которого известна сторона AC, угол A и косинус угла B, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

Площадь = 0.5 * AB * AC * sin(A)

где AB - сторона треугольника, противолежащая углу B, а sin(A) - синус угла A.

Для начала, нам нужно найти сторону AB. Используем теорему косинусов для этого:

cos(B) = adjacent / hypotenuse

Заметим, что треугольник ABC — прямоугольный, с прямым углом у вершины B. Следовательно, гипотенуза будет AB, а прилежащий к углу B катет — AC.

cos(B) = AC / AB cos(B) = √(27/28)

Теперь решим уравнение относительно AB:

AB = AC / cos(B) AB = 1 / √(27/28) AB = √(28/27)

Теперь у нас есть значения сторон AB и AC, а также угол A. Мы можем вычислить площадь треугольника:

Площадь = 0.5 * AB * AC * sin(A)

Поскольку угол A — 60 градусов, то sin(60°) = √3 / 2.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна:

Площадь = 0.5 * √(28/27) * 1 * √3 / 2 Площадь = 0.5 * √(28/27) * √3 / 2 Площадь = √(3 * 28 / (2 * 27)) Площадь ≈ √(84 / 54) Площадь ≈ √(14 / 9) Площадь ≈ √14 / 3 Площадь ≈ 1.49

Таким образом, площадь треугольника АВС составляет приблизительно 1.49 квадратных единиц.