Question

Доказать уравнение методом мат. индукции 1*4+2*7+...+n(3n+1)=n(n+1)^2

Answer 1

Для n=1 база верна, для  k=n+1  должно выполнятся

n(n+1)^2+(n+1)(3n+4) = (n+1)(n+2)^2  

(n+1)(n(n+1)+3n+4) = (n+1)(n^2+4n+4) = (n+1)(n+2)^2  

То есть верно

Answer 2

Для доказательства уравнения методом математической индукции, мы должны выполнить два шага:

1. Показать, что уравнение верно для n = 1.
2. Предположить, что уравнение верно для некоторого положительного целого числа k и доказать, что это приводит к верности уравнения для k+1.

Шаг 1: Проверка для n = 1 Для n = 1, уравнение принимает вид:

1 * (3*1 + 1) = 1 * (1 + 1)^2 1 * (3 + 1) = 1 * 2^2 1 * 4 = 1 * 4

Уравнение верно для n = 1.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что уравнение верно для некоторого положительного целого числа k, то есть:

1 * 4 + 2 * 7 + ... + k(3k + 1) = k(k + 1)^2

Шаг 3: Доказательство для n = k + 1 Теперь мы должны доказать, что уравнение верно для n = k + 1, используя предположение индукции.

Для n = k + 1, левая сторона уравнения выглядит следующим образом:

1 * 4 + 2 * 7 + ... + k(3k + 1) + (k + 1)(3(k + 1) + 1)

Теперь давайте раскроем скобки:

= k(k + 1)^2 + (k + 1)(3k + 4)

Теперь объединим члены:

= k(k + 1)^2 + 3k(k + 1) + 4(k + 1)

Теперь факторизуем общий множитель (k + 1):

= (k + 1)(k(k + 1) + 3k + 4)

Теперь давайте упростим выражение в скобках:

= (k + 1)((k^2 + k) + 3k + 4)

= (k + 1)(k^2 + k + 3k + 4)

= (k + 1)(k^2 + 4k + 4)

Теперь факторизуем квадратный трехчлен в скобках:

= (k + 1)(k + 2)^2

Таким образом, мы получили выражение, аналогичное правой стороне уравнения для n = k + 1.

Таким образом, уравнение верно для n = k + 1, и это завершает доказательство методом математической индукции.

После завершения доказательства, мы можем утверждать, что исходное уравнение верно для всех положительных целых чисел n.