Question

ДАЮ 40 баллов. Вычислите сумму всех целых решений неравенства(x^3+8x^2+15x)/(x^2+9x+20)* 1/(x+4)≤0

Answer 1

Решение в прикрепленных файлах. Сумма целых решений равна -6.

Answer 2

Для вычисления суммы всех целых решений неравенства, сначала найдем области, в которых неравенство выполняется, а затем просуммируем все целые числа в этих областях.

Неравенство, которое нужно решить:

$\frac{x^3 + 8x^2 + 15x}{(x^2 + 9x + 20)(x + 4)} \leq 0$

Сначала найдем значения x, при которых числитель и знаменатель обращаются в ноль:

1. Числитель: $x^3 + 8x^2 + 15x = x(x^2 + 8x + 15) = x(x + 3)(x + 5) = 0$

Значит, возможные значения x: $x = 0, -3, -5$.

2. Знаменатель: $x^2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5) = 0$

Значит, возможные значения x: $x = -4, -5$.

Теперь определим знак функции $\frac{x^3 + 8x^2 + 15x}{(x^2 + 9x + 20)(x + 4)}$ в интервалах, образованных найденными значениями x.

Интервалы:

1. $-\infty < x < -5$
2. $-5 < x < -4$
3. $-4 < x < -3$
4. $-3 < x < 0$
5. $0 < x < -3$
6. $x > 0$

Проверим знаки функции $\frac{x^3 + 8x^2 + 15x}{(x^2 + 9x + 20)(x + 4)}$ в каждом из этих интервалов, выбирая тестовое значение внутри интервала:

1. При $x = -6$ ($-\infty < x < -5$): $\frac{(-6)^3 + 8(-6)^2 + 15(-6)}{((-6)^2 + 9(-6) + 20)(-6 + 4)} = \frac{-216}{(-16)(-2)} = \frac{-216}{32} < 0$

2. При $x = -4.5$ ($-5 < x < -4$): $\frac{(-4.5)^3 + 8(-4.5)^2 + 15(-4.5)}{((-4.5)^2 + 9(-4.5) + 20)(-4.5 + 4)} = \frac{-91.125}{(-4.25)(-0.5)} > 0$

3. При $x = -3.5$ ($-4 < x < -3$): $\frac{(-3.5)^3 + 8(-3.5)^2 + 15(-3.5)}{((-3.5)^2 + 9(-3.5) + 20)(-3.5 + 4)} = \frac{-42.875}{(-2.25)(0.5)} < 0$

4. При $x = -1$ ($-3 < x < 0$): $\frac{(-1)^3 + 8(-1)^2 + 15(-1)}{((-1)^2 + 9(-1) + 20)(-1 + 4)} = \frac{-8}{(-10)(3)} > 0$

5. При $x = 1$ ($0 < x < -3$):