Question

Сократите дробь, разложив многочлены на можители различными способами. а) х² – 2х – 3/х² + 2х + 1. b) х² – 6х + 9 – у²/х² – 3х + ху.

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Давайте разложим данные дроби на множители:

а) Разложение дроби (х² – 2х – 3) / (х² + 2х + 1):

Для разложения числителя и знаменателя на множители, сначала найдем корни уравнений:

1. Найдем корни числителя (х² – 2х – 3):

Дискриминант (D) = (-2)² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16. Корни х = (-b ± √D) / (2a) = (2 ± √16) / 2 = (2 ± 4) / 2. Корни х₁ = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3. Корни х₂ = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1.

Таким образом, числитель (х² – 2х – 3) разлагается на множители следующим образом: (х - 3)(х + 1).

2. Найдем корни знаменателя (х² + 2х + 1):

Здесь у нас имеется квадратный трином, и его корни можно найти так: Корни х = (-b ± √D) / (2a) = (-2 ± √(2² - 4 * 1 * 1)) / 2 = (-2 ± √(4 - 4)) / 2 = (-2 ± 0) / 2 = -1.

Значит, знаменатель (х² + 2х + 1) разлагается на множители следующим образом: (х + 1)(х + 1) или (х + 1)².

Теперь дробь примет вид: (х² – 2х – 3) / (х² + 2х + 1) = (х - 3)(х + 1) / (х + 1)².

б) Разложение дроби (х² – 6х + 9 – у²) / (х² – 3х + ху):

Заметим, что числитель (х² – 6х + 9) представляет собой квадратный трином, который можно разложить как квадрат бинома (х – 3)².

Чтобы разложить знаменатель (х² – 3х + ху), представим его в виде группы: х² – 3х + ху = х² + ху – 3х = х(х + у) - 3х.

Теперь дробь примет вид: (х² – 6х + 9 – у²) / (х² – 3х + ху) = (х – 3)² / (х(х + у) - 3х).

Мы можем провести сокращение в этой дроби, вынеся общий множитель х: (х – 3)² / (х(х + у) - 3х) = (х – 3)² / (х(х + у - 3)).

Вот и получили разложенные дроби.