Question

Как понять какой способ объединением или пересечением решать неравенства с модулем ?

Answer 1

Это зависит от знака неравенства. Нужно решать методом интервалов.

|x-2|>3;  Это объединение ( x-2>3 или x-2<-3);

|x-2|<3;  Это пересечение ( -3<x-2<3);

Answer 2

Для того чтобы понять, какой способ объединения или пересечения использовать при решении неравенств с модулем, нужно рассмотреть структуру самого неравенства с модулем.

Общий вид неравенства с модулем выглядит так:

|f(x)| < a, |f(x)| > a, или |f(x)| ≤ a, |f(x)| ≥ a

где f(x) - это выражение с переменной x, a - положительное число.

В зависимости от знака и значения a, мы выбираем различные подходы к решению неравенств.

1. |f(x)| < a: В этом случае, мы ищем интервалы значений переменной x, при которых выражение |f(x)| меньше a. Для этого нужно рассмотреть два случая: а) f(x) ≥ 0: Тогда решением будет интервал (-a, a). б) f(x) < 0: Тогда решением будет весь интервал (-∞, ∞).

2. |f(x)| > a: Здесь нам нужно найти интервалы значений x, при которых выражение |f(x)| больше a. Это можно сделать, разбив задачу на два случая: а) f(x) ≥ 0: Решением будет объединение двух интервалов (-∞, -a) и (a, ∞). б) f(x) < 0: Решением будет интервал (-a, a).

3. |f(x)| ≤ a: В данном случае нужно найти интервалы значений x, при которых выражение |f(x)| меньше или равно a. Вот как разбить эту задачу на случаи: а) f(x) ≥ 0: Решением будет объединение двух интервалов [-a, a]. б) f(x) < 0: Решением будет весь интервал (-∞, ∞).

4. |f(x)| ≥ a: В этом случае нам нужно найти интервалы значений x, при которых выражение |f(x)| больше или равно a. Это можно разбить на два случая: а) f(x) ≥ 0: Решением будет весь интервал (-∞, ∞). б) f(x) < 0: Решением будет объединение двух интервалов (-∞, -a) и (a, ∞).

Чтобы выбрать правильный способ объединения или пересечения, обратите внимание на знак и значение a, а также на то, на каких интервалах может быть значение функции f(x). Это позволит вам определить, какой подход следует использовать при решении неравенства с модулем.