Question

Нужно доказать свойства модулей 1. | −x |=| x | . 2. | x |≥ 0. 3. | x |= 0 ⇐⇒ x = 0. 4.− | x |≤ x ≤| x | .

Answer 1

строим график модуля, основываясь на определении модуля.
|х|={х, х>0
{0, х=0
{-х, х<0


1)
|-х|={-х, -х>0={-х, х<0 =|х|
|-х|={0, х=0= {0, х=0 =|х|
|-х|={х , -х<0={х, х>0=|х|

2)
|х|≥0 следует из самого определения модуля, и
если х≥0, то |х|=х>0
если х<0, то |х|= -х >0, т.к х<0
равенство нулю будет при равенстве х=0

3) | x |= 0 ⇐⇒ x = 0
это тоже видно на графике
модуль равен нулю лишь в начале координат.

4.) построим графики
у1=−| x | зелёный
у2= x красный
у3=| x | синий
прекрасно видно, что

− | x |≤ x ≤| x |

Answer 2

Давайте докажем каждое из указанных свойств модулей по очереди:

1. | −x |=| x |:

Для доказательства этого свойства рассмотрим два случая:

• Когда x ≥ 0: В этом случае |x| = x, и −x < 0. Тогда |−x| = −(−x) = x = |x|.
• Когда x < 0: В этом случае |x| = −x, и −x > 0. Тогда |−x| = −(−x) = −x = |x|.

Таким образом, независимо от знака x, верно, что |−x| = |x|.

2. | x | ≥ 0:

Модуль числа всегда неотрицательный, так как он представляет собой "расстояние" от числа до нуля на числовой оси. Вне зависимости от того, положительное число, отрицательное или ноль, модуль всегда будет неотрицательным или равен нулю.

3. | x | = 0 ⇐⇒ x = 0:

• Направление "⇐": Если x = 0, то |x| = |0| = 0, так как модуль нуля равен нулю.
• Направление "⇒": Если |x| = 0, это означает, что расстояние от x до нуля на числовой оси равно нулю. Это возможно только тогда, когда само число x равно нулю.

Таким образом, свойство |x| = 0 ⇐⇒ x = 0 верно.

4. − | x | ≤ x ≤ | x |:

Для доказательства этого свойства рассмотрим два случая:

• Когда x ≥ 0: В этом случае |x| = x, и −|x| = −x. Таким образом, −|x| ≤ x ≤ |x| выполняется, так как −x ≤ x ≤ x.
• Когда x < 0: В этом случае |x| = −x, и −|x| = x. Таким образом, −|x| ≤ x ≤ |x| выполняется, так как x ≤ x ≤ −x.

Таким образом, свойство −|x| ≤ x ≤ |x| верно.

Это были доказательства указанных свойств модулей. Если у вас есть еще вопросы или что-то не ясно, пожалуйста, дайте знать!