Question

Тема :комплексные числа

Answer 1

${x}^{2} - 6x + 10 = 0 \\ ( {x}^{2} - 6x + 9) + 1 = 0 \\ (x - 3)^{2} + 1 = 0 \\ (x - 3) ^{2} = - 1 \\ x - 3 =±i \\ \\ x_{1,2} = 3±i$

Answer 2

Комплексные числа являются одной из важных областей математики. Они представляют собой числа вида "a + bi", где "a" и "b" - это действительные числа, а "i" - мнимая единица, определяемая как квадратный корень из -1. Формально, "i^2 = -1".

Вот несколько ключевых понятий, связанных с комплексными числами:

1. Мнимая единица (i): Как упомянуто выше, "i" представляет собой мнимую единицу, которая определяется как "i^2 = -1".

2. Действительная и мнимая части: Когда комплексное число записано в виде "a + bi", "a" называется действительной частью, а "b" - мнимой частью.

3. Сопряженное комплексное число: Для комплексного числа "a + bi" сопряженным будет "a - bi". Отметим, что если мнимая часть равна нулю, то сопряженным будет само число.

4. Модуль комплексного числа: Модуль комплексного числа "a + bi" определяется как расстояние от нуля до этой точки в комплексной плоскости и вычисляется как |a + bi| = √(a^2 + b^2).

5. Алгебраическая и тригонометрическая форма: Комплексное число можно представить как "a + bi" (алгебраическая форма) или в тригонометрической форме "r(cosθ + isinθ)", где "r" - модуль числа, "θ" - аргумент (угол), который определяет направление числа в комплексной плоскости.

6. Операции с комплексными числами: Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел выполняются аналогично операциям с обычными действительными числами, учитывая, что "i^2 = -1".

7. Комплексная плоскость: Комплексные числа можно визуализировать на комплексной плоскости, где действительная часть является осью "x", а мнимая часть - осью "y". Каждое комплексное число представляет точку на этой плоскости.

8. Формула Эйлера: Связь между тригонометрической формой комплексных чисел и экспоненциальной функцией дается формулой Эйлера: e^(iθ) = cos(θ) + i * sin(θ).

Комплексные числа имеют множество применений в различных областях, таких как электротехника, физика, теория сигналов, квантовая механика, компьютерная графика и много других. Они также играют важную роль в решении математических задач, которые не всегда можно решить с помощью обычных действительных чисел.