Question

Найти предел при n стремящейся к бесконечности от (2^(n+1)+3^(n+1))/(2^n+3^n)

Answer 1

Lim(2^(n+1)+3^(n+1))/(2^n+3^n)=
n=>oo

lim(2*2^n+2*3^n+3^n)/(2^n+3^n)=

lim(2+3^n/(2^n+3^n)=
lim(2+1-2^n/(2^n+3^n)=

3

Answer 2

Чтобы найти предел данного выражения при n стремящемся к бесконечности, мы можем применить правило Лопиталя (L'Hôpital's rule) для вычисления предела неопределённости вида "бесконечность на бесконечность". Это правило позволяет нам вычислить предел отношения производных двух функций, которые обе стремятся к бесконечности.

Для данного выражения, вычислим пределы числителя и знаменателя отдельно:

Числитель: lim (n -> ∞) 2^(n+1) + 3^(n+1)

Знаменатель: lim (n -> ∞) 2^n + 3^n

Теперь возьмем производные числителя и знаменателя по n:

Числитель: d/dn (2^(n+1) + 3^(n+1)) = 2^(n+1) * ln(2) + 3^(n+1) * ln(3)

Знаменатель: d/dn (2^n + 3^n) = 2^n * ln(2) + 3^n * ln(3)

Теперь вычислим пределы производных при n стремящемся к бесконечности:

lim (n -> ∞) (2^(n+1) * ln(2) + 3^(n+1) * ln(3)) / (2^n * ln(2) + 3^n * ln(3))

Теперь применим правило Лопиталя, продифференцировав числитель и знаменатель еще раз:

lim (n -> ∞) (2^(n+1) * ln(2) + 3^(n+1) * ln(3)) / (2^n * ln(2) + 3^n * ln(3))

= lim (n -> ∞) (2^(n+1) * ln(2)^2 + 3^(n+1) * ln(3)^2) / (2^n * ln(2)^2 + 3^n * ln(3)^2)

Теперь подставим n = ∞ и вычислим предел:

lim (n -> ∞) (2^(n+1) * ln(2) + 3^(n+1) * ln(3)) / (2^n * ln(2) + 3^n * ln(3))

= (∞ * ln(2)^2 + ∞ * ln(3)^2) / (∞ * ln(2)^2 + ∞ * ln(3)^2)

= (∞ + ∞) / (∞ + ∞)

Так как выражение ∞/∞ является неопределенностью, давайте сократим на ∞:

= 1

Таким образом, предел данного выражения при n стремящемся к бесконечности равен 1.