Question

Розв'язати рівняння х^3-5х^2-12х+36=0

Answer 1

Перепишем так x^3-6x^2+(x-6)^2=0

Один корень  x=6

Если х не 6 делим все на (х-6)

x^2+x-6=0

По теореме Виета:

x=2    x=-3

Ответ : три корня х=6, х=2  или х=-3

Answer 2

Для розв'язання даного кубічного рівняння можна скористатися різними методами, наприклад, методом розділення коренів або методом Кардано. В даному випадку, застосуємо метод розділення коренів.

Крок 1: Знаходження одного кореня рівняння.

Можна перевірити дільники вільного члена (36) для знаходження одного можливого кореня рівняння. Це можуть бути дільники числа 36: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36.

Пробуємо різні дільники і перевіряємо, який з них є коренем рівняння. Зрозуміло, що якщо дільник a є коренем рівняння, то (x - a) буде одним із множників.

Давайте спробуємо з дільниками ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36.

• При підстановці x = 1: 1^3 - 51^2 - 121 + 36 = 1 - 5 - 12 + 36 = 20 ≠ 0
• При підстановці x = -1: (-1)^3 - 5*(-1)^2 - 12*(-1) + 36 = -1 - 5 + 12 + 36 = 42 ≠ 0
• При підстановці x = 2: 2^3 - 52^2 - 122 + 36 = 8 - 20 - 24 + 36 = 0

Отже, x = 2 є коренем рівняння.

Крок 2: Розділення на множник (x - 2) для отримання квадратного рівняння.

Тепер, коли ми знаємо, що (x - 2) є одним із множників, можемо розділити наше кубічне рівняння на (x - 2) за допомогою ділення з остачею або застосування алгоритму ділення поліномів.

(x^3 - 5x^2 - 12x + 36) / (x - 2) = x^2 - 3x - 18

Тепер отримали квадратне рівняння x^2 - 3x - 18 = 0.

Крок 3: Розв'язання квадратного рівняння.

Для знаходження коренів квадратного рівняння можна скористатися квадратними формулами, де a = 1, b = -3, c = -18:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a x = (3 ± √((-3)^2 - 41(-18))) / 2*1 x = (3 ± √(9 + 72)) / 2 x = (3 ± √81) / 2 x = (3 ± 9) / 2

Таким чином, маємо два корені:

x1 = (3 + 9) / 2 = 12 / 2 = 6 x2 = (3 - 9) / 2 = -6 / 2 = -3

Отже, розв'язками кубічного рівняння х^3 - 5х^2 - 12х + 36 = 0 є x = 2, x = 6 і x = -3.