Question

Доказать, что n во 2й степени + 8 кратно 3, при условии, что целое число n не кратно 3

Answer 1

Если число n не кратно 3, то его остаток от деления на 3 равен 1 или 2.

1) n = 3k + 1

n^2 + 8 = (3k+1)^2 + 8 = 9k^2 + 6k + 1 + 8 = 3k^2 + 6k + 9 = 3(3k^2+2k+3)

2) n = 3k + 2

n^2 + 8 = (3k+2)^2 + 8 = 9k^2 + 12k + 4 + 8 = 9k^2 + 12k + 12 = 3(3k^2+4k+4)

В обоих случаях число делится на 3.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, предположим, что n - целое число, которое не кратно 3. Тогда нам нужно доказать, что n^2 + 8 кратно 3.

Для начала заметим, что любое целое число можно представить в одном из трех видов относительно числа 3: n = 3k, n = 3k + 1 или n = 3k + 2, где k - также целое число.

Теперь проверим каждый из этих случаев:

1. n = 3k (n кратно 3): Если n кратно 3, то n^2 + 8 = (3k)^2 + 8 = 9k^2 + 8. Заметим, что 9k^2 делится на 3 (так как 9 делится на 3), и следовательно, остаток от деления (9k^2 + 8) на 3 будет равен остатку от деления 8 на 3, т.е. 2. В данном случае n^2 + 8 не делится на 3.

2. n = 3k + 1: Если n имеет вид 3k + 1, то n^2 + 8 = (3k + 1)^2 + 8 = 9k^2 + 6k + 9. Заметим, что 9k^2 + 6k делится на 3 (так как оба слагаемых делятся на 3), и следовательно, остаток от деления (9k^2 + 6k + 9) на 3 будет равен остатку от деления 9 на 3, т.е. 0. В данном случае n^2 + 8 делится на 3.

3. n = 3k + 2: Если n имеет вид 3k + 2, то n^2 + 8 = (3k + 2)^2 + 8 = 9k^2 + 12k + 12. Заметим, что 9k^2 + 12k делится на 3 (так как оба слагаемых делятся на 3), и следовательно, остаток от деления (9k^2 + 12k + 12) на 3 будет равен остатку от деления 12 на 3, т.е. 0. В данном случае n^2 + 8 делится на 3.

Итак, мы рассмотрели все возможные случаи, и в каждом из них n^2 + 8 делится на 3. Поэтому, при условии, что n - целое число, не кратное 3, можно утверждать, что n^2 + 8 кратно 3.