Question

Упростить выражение sin(a-b)sin(a+b)+sin^2b+cos^2a

Answer 1

Sin(a-b)sin(a+b)+sin²b+cos²a=

1/2(cos(a-b-a-b)-cos(a-b+a+b)+sin²b+

cos²a=1/2(cos(-2b)-cos2a)+(1-cos2b)/2+

+(1+cos2a)/2=1/2*cos2b-1/2*cos2a+1/2-

-1/2*cos2b+1/2+1/2*cos2a=1/2+1/2=1

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами. Важными тождествами, которые нам пригодятся, являются:

1. Тождество синуса двойного угла: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

2. Тождество косинуса двойного угла: cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)

3. Тождество Пифагора: sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1

Теперь давайте применим эти тождества к данному выражению:

Выражение: sin(a-b)sin(a+b) + sin^2(b) + cos^2(a)

Используем тождество синуса двойного угла для первого слагаемого:

sin(a-b)sin(a+b) = 0.5 * [cos(2a) - cos(2b)]

Теперь вставим это обратно в исходное выражение:

0.5 * [cos(2a) - cos(2b)] + sin^2(b) + cos^2(a)

Затем применим тождество косинуса двойного угла:

cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)

cos(2b) = cos^2(b) - sin^2(b)

Теперь заменим cos(2a) и cos(2b) в исходном выражении:

0.5 * [(cos^2(a) - sin^2(a)) - (cos^2(b) - sin^2(b))] + sin^2(b) + cos^2(a)

Теперь раскроем скобки и упростим выражение:

0.5 * (cos^2(a) - sin^2(a) - cos^2(b) + sin^2(b)) + sin^2(b) + cos^2(a)

0.5 * (cos^2(a) + sin^2(a)) + 0.5 * (sin^2(b) + cos^2(b)) + sin^2(b) + cos^2(a)

Используем тождество Пифагора (sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1) в каждой скобке:

0.5 * (1) + 0.5 * (1) + sin^2(b) + cos^2(a)

Упростим еще раз:

0.5 + 0.5 + 1

Теперь сложим числа:

1 + 1 = 2

Таким образом, упрощенное выражение равно 2.