Question

Маша и Андрей будущие математики , развлекались на перемене . Маша написала на доске 4 различных натуральных числа Андрей выписал значения наибольших общих делителей для каждой из шести пар чисел . Получилось , что для одной из пар НОД равен 1 , для другой - 2 . для третьей - 3 , для четвертой - 4 , для пятой - 5 , а для шестой - X . Найдите наименьшее возможное значение Х

Answer 1

Точно что - не 6 и не 7, я попробовал...

Answer 2

Пусть у нас есть 4 различных натуральных числа: a, b, c, d.

Из условия мы знаем, что для каждой из шести пар чисел у нас есть определенное значение НОД:

1. НОД(a, b) = 1
2. НОД(c, d) = 2
3. НОД(a, c) = 3
4. НОД(b, d) = 4
5. НОД(a, d) = 5
6. НОД(b, c) = X (неизвестное значение)

Чтобы найти наименьшее возможное значение X, нам нужно рассмотреть все возможные комбинации этих чисел и найти такую, при которой X будет минимальным.

Обратим внимание на следующие сочетания:

1. НОД(a, b) = 1 и НОД(a, d) = 5 Если НОД(a, b) = 1, это означает, что числа a и b взаимно просты, т.е., у них нет общих делителей, кроме 1. Из НОД(a, d) = 5 следует, что a и d имеют общий делитель 5. Таким образом, a и d также не могут иметь общих делителей, кроме 1 и 5. Поэтому x не может быть меньше 5.

2. НОД(b, c) = X и НОД(c, d) = 2 Если НОД(b, c) = X, то b и c могут иметь общие делители, но они не делятся на 2 (иначе НОД(c, d) не был бы равен 2). Таким образом, минимальное возможное значение X - это 3 (наименьшее простое число, которое больше 2).

Ответ: Наименьшее возможное значение X равно 3.