Question

докажите что если число а делится на число с, а число б не делится на число с , то их разность не делится на число с

Answer 1

Из условия делимости следует:
а=с×к, к - целое число.
а-б=с×к-б. Поделим на с, получится:
к-б/с, где к - целое, б/с - не целое, т. к. б не делится на с по условию. Получается нецелое частное, значит разность не делится на с, ч. т. д.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся математической нотацией и определением деления с остатком.

Пусть число "а" делится на число "с", что записывается как "а = c * k" для некоторого целого числа "k" (где "k" - частное от деления "а" на "с").

Также пусть число "б" не делится на число "с", что записывается как "б ≠ c * m" для всех целых чисел "m".

Теперь допустим, что разность "а - б" делится на "с". То есть:

а - б = с * n, где "n" - некоторое целое число.

Теперь выразим "а" через "с * k" и подставим в выражение для разности:

с * k - б = с * n

Теперь перенесем все слагаемые с "с" на одну сторону:

с * (k - n) = б

Теперь делим обе стороны на "с":

k - n = б / c

Теперь заметим, что левая сторона "k - n" является разностью двух целых чисел и, следовательно, целым числом. Справа же стоит отношение двух чисел, причем "б" не делится на "с". Значит, правая сторона не является целым числом.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и наше предположение о том, что разность "а - б" делится на "с", неверно. Следовательно, разность "а - б" не делится на "с". Доказательство завершено.

Важно отметить, что данное утверждение верно только при условии, что "с" не равно нулю, так как деление на ноль не определено.