Question

СРОЧНО!! 25 БАЛЛОВ 1. Решите неравенство 2x² + 9x + 4 ≤ 0. В ответе укажите длину промежутка, который является решением неравенства. 2. Сколько целых чисел удовлетворяют системе неравенств {-4 - х > 2х + 5 {х² + х - 12 ≤ 0 3. Найдите область определения выражения √х² - 8х _______ 4х + 28

Answer 1

1. Сначала решаем квадратное уравнение

2*x² +9*x + 4 = 0 и находим D = 49, √49 = 7, x1 = - 0.5, x2 =  -4

На графике - парабола положительная, ветви вверх,

Переходим к решению неравенства - отрицательные значения между корнями. Рисунок к задаче в приложении.

Х∈[-4;-0.5]. Длина отрезка - расстояние между корнями:

L = х1  - х2 = - 0.5 - (-4) = 3.5 - длина

ОТВЕТ: Длина промежутка  3,5

2.

1) -4 -х > 2*x + 5 и  3*x < -9 и  x< - 3

На графике прямая Y = 3*x+9 при х < - 3

2) x² + x - 12 ≤ 0.

Решили квадратное уравнение и получили два корня: х1 = 3 и х2 = -4.

(х-3)*(х+4) ≤ 0 или  -4 ≤ Х ≤ 3 - на графике парабола.

Объединили - точка пересечения графиков   и  одно целое решение: х = -4 - ОТВЕТ

3. Область определения.  

В знаменателе -> 4х + 28 ≠ 0  и х ≠ 7 - точка разрыва.

В числителе -> √(х² - 8x) = √(x*(x-8)) ≥ 0 - под корнем должно быть неотрицательное число. Корни  X1 = 0 и Х2 = 8. Положительное вне корней.  Х≤0,   X≥ 8. Объединяем ОДЗ числителя и знаменателя и получаем:

D(x) =(-∞;-7)∪(-7;0]∪[8;+∞) - ОТВЕТ

Рисунок к задаче в приложении.

Answer 2

1. Решение неравенства 2x² + 9x + 4 ≤ 0: Для решения данного квадратного неравенства можно использовать метод интервалов. Сначала найдем корни квадратного уравнения 2x² + 9x + 4 = 0:

Дискриминант D = b² - 4ac = 9² - 424 = 81 - 32 = 49.

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня:

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-9 + √49) / (2*2) = (-9 + 7) / 4 = -2 / 4 = -0.5

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-9 - √49) / (2*2) = (-9 - 7) / 4 = -16 / 4 = -4.

Теперь построим знаки квадратного выражения на интервалах:

|---(-∞)---(-4)---(-0.5)---(+∞)---|

• diffCopy code
  +      -     +
  

Исходя из построенных знаков, неравенство 2x² + 9x + 4 ≤ 0 выполняется на интервале [-4, -0.5]. Его длина равна |(-4) - (-0.5)| = 3.5.

Ответ: Длина промежутка, который является решением неравенства, равна 3.5.

2. Решение системы неравенств: {-4 - х > 2х + 5 {х² + х - 12 ≤ 0

Начнем с первого неравенства:

-4 - х > 2х + 5

Перенесем все члены в одну сторону:

• х - 2х > 5 + 4

-3х > 9

Домножим обе части на -1, меняя при этом знак неравенства:

3x < -9

Теперь разделим обе части на -3, также меняя знак неравенства:

x > 3.

Теперь рассмотрим второе неравенство:

х² + х - 12 ≤ 0

Для нахождения решений данного квадратного неравенства, найдем корни уравнения х² + х - 12 = 0:

Дискриминант D = b² - 4ac = 1² - 41(-12) = 1 + 48 = 49.

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня:

x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-1 + √49) / 2 = (-1 + 7) / 2 = 6 / 2 = 3

x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-1 - √49) / 2 = (-1 - 7) / 2 = -8 / 2 = -4.

Теперь построим знаки квадратного выражения на интервалах:

|---(-∞)---(-4)---(3)---(+∞)---|

• markdownCopy code
   -     +     +
  

Исходя из построенных знаков, неравенство х² + х - 12 ≤ 0 выполняется на интервале [-4, 3].

Таким образом, неравенства выполняются при условии, что x > 3 и -4 ≤ x ≤ 3.

3. Найдем область определения выражения √(х² - 8х) / (4х + 28).

Выражение имеет корень в знаменателе, поэтому необходимо учитывать его допустимые значения:

4х + 28 ≠ 0

Вычтем 28 из обеих частей неравенства:

4х ≠ -28

Теперь разделим обе части неравенства на 4:

х ≠ -28 / 4

х ≠ -7.

Таким образом, область определения выражения √(х² - 8х) / (4х + 28) - это множество всех действительных чисел, кроме x = -7.