Question

Докажите, что 1/31 +1/32 +1/33 +... + 1/39 +1/40 больше 1/4

Answer 1

Всего дробей 10.

Если бы они все равнялись 1/40, то их сумма была бы 1/4, а поскольку 9 из них больше 1/40, то и сумма их больше, чем 1/4

Answer 2

Для доказательства неравенства $\frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + \ldots + \frac{1}{39} + \frac{1}{40} > \frac{1}{4}$, мы можем сравнить это выражение с более простой суммой и показать, что оно больше.

Применим неравенство треугольника к каждой дроби в данной сумме:

$\frac{1}{31} < \frac{1}{30}$,

$\frac{1}{32} < \frac{1}{30}$,

$\frac{1}{33} < \frac{1}{30}$,

и так далее, до

$\frac{1}{40} < \frac{1}{30}$.

Теперь домножим каждую дробь на 30 (наименьшее общее кратное):

$\frac{1}{31} \cdot 30 < 1$,

$\frac{1}{32} \cdot 30 < 1$,

$\frac{1}{33} \cdot 30 < 1$,

и так далее, до

$\frac{1}{40} \cdot 30 < 1$.

Теперь сложим все неравенства:

$\left(\frac{1}{31} \cdot 30\right) + \left(\frac{1}{32} \cdot 30\right) + \left(\frac{1}{33} \cdot 30\right) + \ldots + \left(\frac{1}{40} \cdot 30\right) < 1 + 1 + 1 + \ldots + 1$,

где слева у нас исходная сумма, а справа — 10 единиц.

$30 \cdot \left(\frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + \ldots + \frac{1}{40}\right) < 10$.

Теперь разделим обе стороны на 30:

$\frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + \ldots + \frac{1}{40} < \frac{10}{30}$.

Упростим правую часть:

$\frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + \ldots + \frac{1}{40} < \frac{1}{3}$.

Теперь заметим, что в сумме содержится 10 слагаемых. Умножим обе части на 10:

$10 \cdot \left(\frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + \ldots + \frac{1}{40}\right) < \frac{10}{3}$.

$\frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \frac{1}{33} + \ldots + \frac{1}{40} < \frac{10}{3}$