Question

В окружности проведены две пересекающиеся хорды AB=7, CD=5. Точка их пересечения делит CD в отношении 2:3. В каком отношении эта точка делит хорду AB? (В ответе укажите отношение меньшего отрезка к большему).

Answer 1

18_03_09_Задание № 7:

Диагональ трапеции делит её на два подобных между собой треугольника. Отношение боковых сторон трапеции равно 2. Найдите отношение большего основания трапеции к её меньшему основанию.

РЕШЕНИЕ: Пусть в трапеции ABCD такой диагональю является BD. Тогда накрест лежащие углы CBD и ADВ равны.

Так как в трапеции противолежащие углы не равны, то другие пары равных углов это ABD=BCD и BAD=BDC.

Отношение пропорциональных сторон: АВ/CD=AD/BD=BD/BC=2

Выразим из второй части: AD/BD=2, AD=2BD

Выразим из третьей части: BD/BC=2, BD=2BC

Подставляем: AD=2*2BC=4BC. Значит AD/BC=4.

ОТВЕТ: 4:1

Answer 2

Для решения этой задачи давайте обозначим точку пересечения хорд AB и CD как точку E. Из условия задачи известно, что CE делит CD в отношении 2:3, а исходные хорды AB и CD пересекаются.

Давайте обозначим отрезки AE и EB как x и y соответственно. Тогда отрезки CE и ED равны (3x) и (2y) соответственно, потому что CE делит CD в отношении 2:3.

Теперь у нас есть два способа вычислить длины хорд AB и CD.

1. По теореме о пересекающихся хордах: AB * EB = CB * ED 7 * y = 5 * (3x) 7y = 15x

2. По теореме о хордах, проходящих через общую точку: AE * EB = CE * ED x * y = (3x) * (2y) xy = 6xy

Теперь решим уравнение для x и y:

7y = 15x xy = 6xy

Так как xy ≠ 0 (в противном случае точка E находилась бы на бесконечности), мы можем поделить второе уравнение на xy:

1 = 6

Это невозможное уравнение, что означает, что хорда CD не может быть длиной 5 и точка E не может делить CD в отношении 2:3. Следовательно, данная задача имеет ошибку в условии.

Пожалуйста, проверьте условие задачи и уточните его, чтобы я мог помочь вам с правильным решением.