Question

Найти производную сложной функции ctg

Answer 1

Найти производную сложной функции

$(ctg f(x))' = - \frac{1}{sin^2f(x)} * f'(x)$

где f(x) - функция

Answer 2

Чтобы найти производную сложной функции, представленной как ctg(x), сначала нужно заменить ее на эквивалентное выражение с использованием тригонометрических функций.

Функция котангенса (ctg) может быть записана как:

ctg(x) = 1 / tan(x)

Далее, чтобы найти производную, мы будем использовать правило дифференцирования частного функций. Если у нас есть функция u(x) и v(x), то производная их частного равна (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / [v(x)]^2.

Давайте проделаем вычисления:

u(x) = 1, v(x) = tan(x)

Тогда u'(x) = 0 (производная константы равна нулю)

v'(x) = d/dx(tan(x)) = sec^2(x) (производная тангенса равна квадрату секанса)

Теперь мы можем записать производную ctg(x):

d/dx(ctg(x)) = (0 * tan(x) - 1 * sec^2(x)) / [tan(x)]^2

d/dx(ctg(x)) = -sec^2(x) / tan^2(x)

Таким образом, производная ctg(x) равна -sec^2(x) / tan^2(x).